Номер 8, страница 10 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 2. Действительные числа - номер 8, страница 10.

Условие.

8 Какое из равенств $|x|=x$ или $|x|=-x$ является верным, если:

1) $x = 5-\sqrt{7}$;

2) $x = 4-3\sqrt{3}$;

3) $x = 5-\sqrt{10}$ ?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы определить, какое из равенств $|x| = x$ или $|x| = -x$ является верным, необходимо определить знак выражения $x$ в каждом из трех случаев. Выбор равенства зависит от знака $x$ согласно определению модуля (абсолютной величины):

• Если число неотрицательное, то есть $x \ge 0$, то его модуль равен самому числу: $|x| = x$.
• Если число отрицательное, то есть $x < 0$, то его модуль равен противоположному числу: $|x| = -x$.

1) $x = 5 - \sqrt{7}$

Чтобы определить знак $x$, сравним числа $5$ и $\sqrt{7}$. Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты:

$5^2 = 25$

$(\sqrt{7})^2 = 7$

Поскольку $25 > 7$, то и $5 > \sqrt{7}$. Это означает, что разность $5 - \sqrt{7}$ является положительным числом.

$x = 5 - \sqrt{7} > 0$

Так как $x$ — положительное число, верным является равенство $|x| = x$.

Ответ: $|x| = x$

2) $x = 4 - 3\sqrt{3}$

Чтобы определить знак $x$, сравним числа $4$ и $3\sqrt{3}$. Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты:

$4^2 = 16$

$(3\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$

Поскольку $16 < 27$, то и $4 < 3\sqrt{3}$. Это означает, что разность $4 - 3\sqrt{3}$ является отрицательным числом.

$x = 4 - 3\sqrt{3} < 0$

Так как $x$ — отрицательное число, верным является равенство $|x| = -x$.

Ответ: $|x| = -x$

3) $x = 5 - \sqrt{10}$

Чтобы определить знак $x$, сравним числа $5$ и $\sqrt{10}$. Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты:

$5^2 = 25$

$(\sqrt{10})^2 = 10$

Поскольку $25 > 10$, то и $5 > \sqrt{10}$. Это означает, что разность $5 - \sqrt{10}$ является положительным числом.

$x = 5 - \sqrt{10} > 0$

Так как $x$ — положительное число, верным является равенство $|x| = x$.

Ответ: $|x| = x$