Номер 15, страница 15 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия - номер 15, страница 15.

Условие.

15 Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей:

1) $1, \frac{1}{5}, \frac{1}{25}, \ldots ;$

2) $\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \ldots ;$

3) $-27, -9, -3, \ldots ;$

4) $-64, -32, -16, \ldots ;$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Геометрическая прогрессия $(b_n)$ называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя $q$ меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Чтобы доказать, что заданные прогрессии являются бесконечно убывающими, для каждой из них найдем знаменатель $q$ и проверим, выполняется ли это условие.

1) Рассматривается прогрессия $1, \frac{1}{5}, \frac{1}{25}, \dots$

Первый член прогрессии $b_1 = 1$, второй член $b_2 = \frac{1}{5}$.

Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/5}{1} = \frac{1}{5}$

Найдем модуль знаменателя:

$|q| = |\frac{1}{5}| = \frac{1}{5}$

Так как $\frac{1}{5} < 1$, условие $|q| < 1$ выполняется.

Ответ: Данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

2) Рассматривается прогрессия $\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \dots$

Первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{3}$, второй член $b_2 = \frac{1}{9}$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/9}{1/3} = \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Найдем модуль знаменателя:

$|q| = |\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$

Так как $\frac{1}{3} < 1$, условие $|q| < 1$ выполняется.

Ответ: Данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

3) Рассматривается прогрессия $-27, -9, -3, \dots$

Первый член прогрессии $b_1 = -27$, второй член $b_2 = -9$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-9}{-27} = \frac{1}{3}$

Найдем модуль знаменателя:

$|q| = |\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$

Так как $\frac{1}{3} < 1$, условие $|q| < 1$ выполняется.

Ответ: Данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

4) Рассматривается прогрессия $-64, -32, -16, \dots$

Первый член прогрессии $b_1 = -64$, второй член $b_2 = -32$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-32}{-64} = \frac{1}{2}$

Найдем модуль знаменателя:

$|q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$

Так как $\frac{1}{2} < 1$, условие $|q| < 1$ выполняется.

Ответ: Данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.