Номер 13, страница 15 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия - номер 13, страница 15.

Условие.

13 Выяснить, является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой n-го члена:

1) $b_n = -5^{2n};$

2) $b_n = 2^{3n}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы определить, является ли последовательность $b_n = -5^{2n}$ геометрической прогрессией, нужно проверить, является ли отношение последующего члена к предыдущему, то есть $\frac{b_{n+1}}{b_n}$, постоянной величиной (которая называется знаменателем геометрической прогрессии $q$).

Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив в формулу $n+1$ вместо $n$:
$b_{n+1} = -5^{2(n+1)} = -5^{2n+2}$.

Теперь найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{-5^{2n+2}}{-5^{2n}} = \frac{5^{2n+2}}{5^{2n}} = 5^{(2n+2) - 2n} = 5^2 = 25$.

Так как отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ равно константе 25 (не зависит от $n$), данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 25$.
Ответ: да, является.

2) Проверим последовательность, заданную формулой $b_n = 2^{3n}$, аналогичным образом.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$b_{n+1} = 2^{3(n+1)} = 2^{3n+3}$.

Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{3n+3}}{2^{3n}} = 2^{(3n+3) - 3n} = 2^3 = 8$.

Так как отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ равно константе 8 (не зависит от $n$), данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 8$.
Ответ: да, является.