Номер 17, страница 16 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия - номер 17, страница 16.

Условие.

17 Вычислить:

1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{4^n}$;

2) $\lim_{n \to \infty} (0,2)^n$;

3) $\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{7^n}\right)$;

4) $\lim_{n \to \infty} \left(\left(\frac{3}{5}\right)^n - 2\right).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Нужно вычислить предел $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{4^n}$.
При $n \to \infty$ (n стремится к бесконечности), знаменатель $4^n$ также стремится к бесконечности, так как основание степени $4 > 1$. Деление константы (1) на бесконечно большую величину дает в пределе ноль.
Можно также рассматривать это как предел члена геометрической прогрессии $q^n$. В данном случае выражение можно переписать как $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{4}\right)^n$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{4}$. Поскольку $|q| < 1$, предел такой последовательности равен нулю.
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{4^n} = 0$.
Ответ: 0

2) Нужно вычислить предел $\lim_{n \to \infty} (0,2)^n$.
Это предел последовательности, которая является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 0,2$.
Согласно свойству предела геометрической прогрессии, если ее знаменатель $q$ по модулю меньше единицы ($|q| < 1$), то предел последовательности при $n \to \infty$ равен нулю.
В данном случае $|0,2| < 1$, поэтому $\lim_{n \to \infty} (0,2)^n = 0$.
Ответ: 0

3) Нужно вычислить предел $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{7^n}\right)$.
Используем свойство предела суммы: предел суммы равен сумме пределов (если они существуют).
$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{7^n}\right) = \lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{7^n}$.
Предел константы равен самой константе: $\lim_{n \to \infty} 1 = 1$.
Вычислим второй предел: $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{7^n}$. Аналогично пункту 1, при $n \to \infty$ знаменатель $7^n \to \infty$, следовательно, вся дробь стремится к нулю: $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{7^n} = 0$.
Складывая полученные значения, имеем: $1 + 0 = 1$.
Ответ: 1

4) Нужно вычислить предел $\lim_{n \to \infty} \left(\left(\frac{3}{5}\right)^n - 2\right)$.
Используем свойство предела разности: предел разности равен разности пределов (если они существуют).
$\lim_{n \to \infty} \left(\left(\frac{3}{5}\right)^n - 2\right) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{5}\right)^n - \lim_{n \to \infty} 2$.
Вычислим первый предел: $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{5}\right)^n$. Это предел геометрической прогрессии со знаменателем $q = \frac{3}{5}$. Так как $|\frac{3}{5}| < 1$, то предел равен нулю.
Второй предел — это предел константы: $\lim_{n \to \infty} 2 = 2$.
Вычитая одно из другого, получаем: $0 - 2 = -2$.
Ответ: -2