Номер 22, страница 16 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия - номер 22, страница 16.

Условие.

22 Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:

1) $q = \frac{1}{2}$, $b_5 = \frac{\sqrt{2}}{16}$;

2) $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $b_4 = \frac{9}{8}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — это первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула применима при условии, что $|q| < 1$.

По условию задачи даны: знаменатель $q = \frac{1}{2}$ и пятый член прогрессии $b_5 = \frac{\sqrt{2}}{16}$.

Сначала проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$:

$|q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{2} < 1$, условие выполнено, и мы можем найти сумму прогрессии.

Для нахождения суммы нам нужен первый член прогрессии $b_1$. Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для $n=5$ получим: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$.

Подставим известные значения в эту формулу:

$\frac{\sqrt{2}}{16} = b_1 \cdot (\frac{1}{2})^4$

$\frac{\sqrt{2}}{16} = b_1 \cdot \frac{1}{16}$

Из этого уравнения находим $b_1$:

$b_1 = \sqrt{2}$

Теперь, зная $b_1$ и $q$, мы можем рассчитать сумму прогрессии:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\sqrt{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$.

2)

По условию задачи даны: знаменатель $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и четвертый член прогрессии $b_4 = \frac{9}{8}$.

Сначала проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$:

$|q| = |\frac{\sqrt{3}}{2}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$, что меньше 1. Условие выполнено.

Найдем первый член прогрессии $b_1$, используя формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для $n=4$ имеем: $b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$.

Подставим известные значения:

$\frac{9}{8} = b_1 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^3$

$\frac{9}{8} = b_1 \cdot \frac{(\sqrt{3})^3}{2^3} = b_1 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8}$

Найдем $b_1$ из этого уравнения:

$b_1 = \frac{9}{8} \div \frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{9}{8} \cdot \frac{8}{3\sqrt{3}} = \frac{9}{3\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$

Упростим выражение для $b_1$, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$b_1 = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Теперь вычислим сумму прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$:

$S = \frac{\sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(2 + \sqrt{3})$:

$S = \frac{2\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3} \cdot 2 + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4\sqrt{3} + 2 \cdot 3}{4 - 3} = \frac{6 + 4\sqrt{3}}{1} = 6 + 4\sqrt{3}$.

Ответ: $6 + 4\sqrt{3}$.