Номер 29, страница 21 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 4. Арифметический корень натуральной степени - номер 29, страница 21.

Условие.

29 1) $\sqrt[3]{10^6}$;

2) $\sqrt[3]{3^{12}}$;

3) $\sqrt[4]{\left(\frac{1}{2}\right)^{12}}$;

4) $\sqrt[4]{\left(\frac{1}{3}\right)^{16}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{10^6}$ воспользуемся свойством корня $n$-ой степени, которое можно представить в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

В данном случае показатель корня $n=3$, основание $a=10$ и показатель степени под корнем $m=6$.

Применяя формулу, получаем:

$\sqrt[3]{10^6} = 10^{\frac{6}{3}} = 10^2$

Вычисляем результат:

$10^2 = 100$

Ответ: $100$.

2) Аналогично решаем выражение $\sqrt[3]{3^{12}}$. Используем то же свойство: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Здесь показатель корня $n=3$, основание $a=3$ и показатель степени $m=12$.

Подставляем значения в формулу:

$\sqrt[3]{3^{12}} = 3^{\frac{12}{3}} = 3^4$

Вычисляем результат:

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$

Ответ: $81$.

3) Для выражения $\sqrt[4]{(\frac{1}{2})^{12}}$ применим то же свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

В этом примере показатель корня $n=4$, основание $a = \frac{1}{2}$ и показатель степени $m=12$.

Подставляем значения:

$\sqrt[4]{(\frac{1}{2})^{12}} = (\frac{1}{2})^{\frac{12}{4}} = (\frac{1}{2})^3$

Теперь возводим дробь в степень, используя свойство $(\frac{a}{b})^k = \frac{a^k}{b^k}$:

$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$.

4) Для выражения $\sqrt[4]{(\frac{1}{3})^{16}}$ снова используем свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Здесь показатель корня $n=4$, основание $a = \frac{1}{3}$ и показатель степени $m=16$.

Подставляем значения в формулу:

$\sqrt[4]{(\frac{1}{3})^{16}} = (\frac{1}{3})^{\frac{16}{4}} = (\frac{1}{3})^4$

Возводим дробь в степень:

$(\frac{1}{3})^4 = \frac{1^4}{3^4} = \frac{1}{81}$

Ответ: $\frac{1}{81}$.