Номер 31, страница 21 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 4. Арифметический корень натуральной степени - номер 31, страница 21.

Условие.

31 Решить уравнение:

1) $x^4 = 256$

2) $x^5 = -\frac{1}{32}$

3) $5x^5 = -160$

4) $2x^6 = 128$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим уравнение $x^4 = 256$.
Это уравнение вида $x^n = a$, где показатель степени $n=4$ является четным числом, а правая часть $a=256$ — положительное число. В таком случае уравнение имеет два действительных корня.
Корни находятся по формуле $x = \pm \sqrt[n]{a}$, то есть $x = \pm \sqrt[4]{256}$.
Чтобы найти $\sqrt[4]{256}$, подберем число, которое при возведении в четвертую степень дает 256. Мы знаем, что $4^2 = 16$, и $16^2 = 256$. Следовательно, $(4^2)^2 = 4^4 = 256$.
Таким образом, $\sqrt[4]{256} = 4$.
Корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Ответ: $x = \pm 4$.

2) Решим уравнение $x^5 = -\frac{1}{32}$.
Это уравнение вида $x^n = a$, где показатель степени $n=5$ является нечетным числом. Такое уравнение всегда имеет один действительный корень, который находится по формуле $x = \sqrt[n]{a}$.
В данном случае $x = \sqrt[5]{-\frac{1}{32}}$.
Для корня нечетной степени из отрицательного числа справедливо равенство $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$. Поэтому $x = -\sqrt[5]{\frac{1}{32}}$.
Найдем $\sqrt[5]{\frac{1}{32}}$. Мы знаем, что $2^5 = 32$, значит $(\frac{1}{2})^5 = \frac{1^5}{2^5} = \frac{1}{32}$.
Следовательно, $\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{1}{2}$.
Корень уравнения: $x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $x = -\frac{1}{2}$.

3) Решим уравнение $5x^5 = -160$.
Сначала упростим уравнение, разделив обе его части на коэффициент перед $x^5$, то есть на 5.
$x^5 = \frac{-160}{5}$
$x^5 = -32$
Получили уравнение вида $x^n = a$, где $n=5$ — нечетное число. Уравнение имеет один действительный корень $x = \sqrt[5]{-32}$.
Найдем число, которое в пятой степени равно -32. Так как $2^5 = 32$, то $(-2)^5 = -32$.
Следовательно, $x = -2$.
Ответ: $x = -2$.

4) Решим уравнение $2x^6 = 128$.
Сначала упростим уравнение, разделив обе его части на 2.
$x^6 = \frac{128}{2}$
$x^6 = 64$
Получили уравнение вида $x^n = a$, где $n=6$ — четное число, а $a=64$ — положительное число. Уравнение имеет два действительных корня: $x = \pm \sqrt[6]{64}$.
Найдем $\sqrt[6]{64}$. Мы знаем, что $2^5 = 32$, значит $2^6 = 2^5 \times 2 = 32 \times 2 = 64$.
Следовательно, $\sqrt[6]{64} = 2$.
Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Ответ: $x = \pm 2$.