Номер 38, страница 22 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 4. Арифметический корень натуральной степени - номер 38, страница 22.

Условие.

38 Упростить выражение:

1) $\sqrt[3]{2ab^2} \cdot \sqrt[3]{4a^2b}$;

2) $\sqrt[4]{3a^2b^3} \cdot \sqrt[4]{27a^2b}$;

3) $\sqrt[4]{\frac{ab}{c}} \cdot \sqrt[4]{\frac{a^3c}{b}}$;

4) $\sqrt[3]{\frac{16a}{b^2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2ab}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sqrt[3]{2ab^2} \cdot \sqrt[3]{4a^2b}$

Чтобы упростить это выражение, мы используем свойство произведения корней одинаковой степени, которое гласит: $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$. В нашем случае степень корня $n=3$.

Объединим множители под одним знаком корня:

$\sqrt[3]{2ab^2 \cdot 4a^2b}$

Теперь перемножим выражения в подкоренном пространстве:

$2ab^2 \cdot 4a^2b = (2 \cdot 4) \cdot (a \cdot a^2) \cdot (b^2 \cdot b) = 8 \cdot a^{1+2} \cdot b^{2+1} = 8a^3b^3$

Подставим полученное выражение обратно под корень и извлечем его:

$\sqrt[3]{8a^3b^3} = \sqrt[3]{(2ab)^3} = 2ab$

Ответ: $2ab$

2) $\sqrt[4]{3a^2b^3} \cdot \sqrt[4]{27a^2b}$

Используем то же свойство произведения корней: $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$. Здесь степень корня $n=4$.

$\sqrt[4]{3a^2b^3 \cdot 27a^2b}$

Упростим подкоренное выражение:

$3a^2b^3 \cdot 27a^2b = (3 \cdot 27) \cdot (a^2 \cdot a^2) \cdot (b^3 \cdot b) = 81 \cdot a^{2+2} \cdot b^{3+1} = 81a^4b^4$

Теперь извлечем корень четвертой степени:

$\sqrt[4]{81a^4b^4} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{b^4}$

Поскольку корень четной степени, $\sqrt[4]{x^4} = |x|$. Из области определения исходных выражений ($3a^2b^3 \ge 0$ и $27a^2b \ge 0$) следует, что $b \ge 0$, поэтому $|b|=b$. Для переменной $a$ таких ограничений нет.

$3 \cdot |a| \cdot b = 3|a|b$

Ответ: $3|a|b$

3) $\sqrt[4]{\frac{ab}{c}} \cdot \sqrt[4]{\frac{a^3c}{b}}$

Снова применяем свойство произведения корней для $n=4$:

$\sqrt[4]{\frac{ab}{c} \cdot \frac{a^3c}{b}}$

Упростим выражение под корнем. Для этого перемножим дроби, сократив общие множители $b$ и $c$ (при условии, что $b \neq 0, c \neq 0$, что необходимо для существования исходных выражений):

$\frac{ab \cdot a^3c}{c \cdot b} = a \cdot a^3 = a^4$

Подставим результат обратно и извлечем корень:

$\sqrt[4]{a^4} = |a|$

Так как степень корня четная, в результате получаем модуль переменной $a$.

Ответ: $|a|$

4) $\sqrt[3]{\frac{16a}{b^2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2ab}}$

Применим свойство произведения корней для $n=3$:

$\sqrt[3]{\frac{16a}{b^2} \cdot \frac{1}{2ab}}$

Перемножим подкоренные выражения и упростим их, сократив общие множители (при $a \neq 0, b \neq 0$):

$\frac{16a}{b^2 \cdot 2ab} = \frac{16a}{2ab^3} = \frac{8}{b^3}$

Теперь извлечем кубический корень из полученной дроби:

$\sqrt[3]{\frac{8}{b^3}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{b^3}}$

Так как $\sqrt[3]{8}=2$ и $\sqrt[3]{b^3}=b$ (для корня нечетной степени знак модуля не ставится), получаем:

$\frac{2}{b}$

Ответ: $\frac{2}{b}$