Номер 45, страница 22 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 4. Арифметический корень натуральной степени - номер 45, страница 22.

Условие.

45 При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) $\sqrt[6]{2x-3}$;

2) $\sqrt[6]{x+3}$;

3) $\sqrt[6]{2x^2-x-1}$;

4) $\sqrt[4]{\frac{2-3x}{2x-4}}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Выражение $\sqrt[6]{2x - 3}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, так как корень имеет четную степень (6).

Необходимо решить неравенство:

$2x - 3 \ge 0$

$2x \ge 3$

$x \ge \frac{3}{2}$

Таким образом, выражение имеет смысл при $x \in [\frac{3}{2}, +\infty)$.

Ответ: $x \in [\frac{3}{2}, +\infty)$

2) Выражение $\sqrt[6]{x + 3}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, так как корень имеет четную степень (6).

Необходимо решить неравенство:

$x + 3 \ge 0$

$x \ge -3$

Таким образом, выражение имеет смысл при $x \in [-3, +\infty)$.

Ответ: $x \in [-3, +\infty)$

3) Выражение $\sqrt[6]{2x^2 - x - 1}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, так как корень имеет четную степень (6).

Необходимо решить квадратное неравенство:

$2x^2 - x - 1 \ge 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2>0$), ветви параболы $y = 2x^2 - x - 1$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $2x^2 - x - 1 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни.

Решением неравенства является объединение промежутков: $x \le -\frac{1}{2}$ и $x \ge 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [1, +\infty)$

4) Выражение $\sqrt[4]{\frac{2 - 3x}{2x - 4}}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, так как корень имеет четную степень (4). Кроме того, знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Получаем систему условий:

$\begin{cases} \frac{2 - 3x}{2x - 4} \ge 0 \\ 2x - 4 \ne 0 \end{cases}$

Условие $x \ne 2$ следует из того, что знаменатель не может быть равен нулю. Решим неравенство $\frac{2 - 3x}{2x - 4} \ge 0$ методом интервалов.

Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $2 - 3x = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$.

Нуль знаменателя: $2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.

Отметим эти точки на числовой оси. Точка $x = \frac{2}{3}$ будет включена в решение (неравенство нестрогое), а точка $x = 2$ — исключена (знаменатель не равен нулю).

Определим знаки выражения на полученных интервалах:

• Интервал $(-\infty, \frac{2}{3})$: возьмем $x=0$, получим $\frac{2}{-4} < 0$.
• Интервал $(\frac{2}{3}, 2)$: возьмем $x=1$, получим $\frac{2-3}{2-4} = \frac{-1}{-2} > 0$.
• Интервал $(2, +\infty)$: возьмем $x=3$, получим $\frac{2-9}{6-4} = \frac{-7}{2} < 0$.

Неравенство выполняется на промежутке $(\frac{2}{3}, 2)$. Включая точку $x = \frac{2}{3}$, получаем итоговый промежуток.

Ответ: $x \in [\frac{2}{3}, 2)$