Номер 41, страница 22 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 4. Арифметический корень натуральной степени - номер 41, страница 22.

Условие.

41 Упростить выражение:

1) $\sqrt[5]{a^6 b^7} : \sqrt[5]{ab^2};$

2) $\sqrt[3]{81x^4 y} : \sqrt[3]{3xy};$

3) $\sqrt[3]{\frac{3x}{y^2}} : \sqrt[3]{\frac{y}{9x^2}};$

4) $\sqrt[4]{\frac{2b}{a^3}} : \sqrt[4]{\frac{a}{8b^3}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для того чтобы упростить выражение $\sqrt[5]{a^6b^7} : \sqrt[5]{ab^2}$, воспользуемся свойством деления корней с одинаковым показателем: $\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}}$.
$\sqrt[5]{a^6b^7} : \sqrt[5]{ab^2} = \sqrt[5]{\frac{a^6b^7}{ab^2}}$
Далее, упростим подкоренное выражение, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:
$\frac{a^6b^7}{ab^2} = a^{6-1}b^{7-2} = a^5b^5$
Подставим полученное выражение обратно под корень:
$\sqrt[5]{a^5b^5} = \sqrt[5]{(ab)^5}$
Используя свойство $\sqrt[n]{x^n} = x$ (для нечетного $n$), получаем окончательный результат:
$\sqrt[5]{(ab)^5} = ab$
Ответ: $ab$.

2) Упростим выражение $\sqrt[3]{81x^4y} : \sqrt[3]{3xy}$, применив то же свойство частного корней.
$\sqrt[3]{81x^4y} : \sqrt[3]{3xy} = \sqrt[3]{\frac{81x^4y}{3xy}}$
Упростим выражение в числителе и знаменателе под знаком корня:
$\frac{81x^4y}{3xy} = \frac{81}{3} \cdot \frac{x^4}{x} \cdot \frac{y}{y} = 27 \cdot x^{4-1} \cdot y^{1-1} = 27x^3y^0 = 27x^3$
Теперь выражение имеет вид:
$\sqrt[3]{27x^3}$
Извлечем кубический корень из каждого множителя:
$\sqrt[3]{27x^3} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{x^3} = 3x$
Ответ: $3x$.

3) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{\frac{3x}{y^2}} : \sqrt[3]{\frac{y}{9x^2}}$. Снова применим свойство частного корней.
$\sqrt[3]{\frac{3x}{y^2}} : \sqrt[3]{\frac{y}{9x^2}} = \sqrt[3]{\frac{3x}{y^2} \div \frac{y}{9x^2}}$
Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:
$\sqrt[3]{\frac{3x}{y^2} \cdot \frac{9x^2}{y}} = \sqrt[3]{\frac{3x \cdot 9x^2}{y^2 \cdot y}} = \sqrt[3]{\frac{27x^3}{y^3}}$
Теперь извлечем корень из дроби:
$\sqrt[3]{\frac{27x^3}{y^3}} = \frac{\sqrt[3]{27x^3}}{\sqrt[3]{y^3}} = \frac{3x}{y}$
Ответ: $\frac{3x}{y}$.

4) Упростим выражение $\sqrt[4]{\frac{2b}{a^3}} : \sqrt[4]{\frac{a}{8b^3}}$. Используем свойство частного корней.
$\sqrt[4]{\frac{2b}{a^3}} : \sqrt[4]{\frac{a}{8b^3}} = \sqrt[4]{\frac{2b}{a^3} \div \frac{a}{8b^3}}$
Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\sqrt[4]{\frac{2b}{a^3} \cdot \frac{8b^3}{a}} = \sqrt[4]{\frac{2b \cdot 8b^3}{a^3 \cdot a}} = \sqrt[4]{\frac{16b^4}{a^4}}$
Извлечем корень четвертой степени из дроби. Так как корень четной степени, подкоренные выражения должны быть неотрицательны, и переменные в знаменателе не могут быть равны нулю. Будем считать, что $a > 0$ и $b \ge 0$.
$\sqrt[4]{\frac{16b^4}{a^4}} = \frac{\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{b^4}}{\sqrt[4]{a^4}}$
Поскольку $2^4=16$, получаем:
$\frac{2b}{a}$
Ответ: $\frac{2b}{a}$.