Номер 35, страница 21 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 4. Арифметический корень натуральной степени - номер 35, страница 21.

Условие.

35 1) $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{500}$

2) $\sqrt[3]{0,2} \cdot \sqrt[3]{0,04}$

3) $\sqrt[4]{324} \cdot \sqrt[4]{4}$

4) $\sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[5]{16}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы вычислить произведение $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{500}$, воспользуемся свойством умножения корней одной степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

Применяем это свойство для кубических корней:

$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{500} = \sqrt[3]{2 \cdot 500}$

Выполним умножение под знаком корня:

$2 \cdot 500 = 1000$

Теперь выражение принимает вид:

$\sqrt[3]{1000}$

Находим кубический корень из 1000. Так как $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$, то $\sqrt[3]{1000} = 10$.

Ответ: 10

2) Для вычисления произведения $\sqrt[3]{0,2} \cdot \sqrt[3]{0,04}$ используем то же свойство корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

Применяем свойство:

$\sqrt[3]{0,2} \cdot \sqrt[3]{0,04} = \sqrt[3]{0,2 \cdot 0,04}$

Выполним умножение десятичных дробей под корнем:

$0,2 \cdot 0,04 = 0,008$

Получаем выражение:

$\sqrt[3]{0,008}$

Чтобы извлечь корень, можно представить десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,008 = \frac{8}{1000}$.

$\sqrt[3]{0,008} = \sqrt[3]{\frac{8}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{1000}}$

Так как $2^3 = 8$ и $10^3 = 1000$, получаем:

$\frac{2}{10} = 0,2$

Также можно заметить, что $0,2^3 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,008$, поэтому $\sqrt[3]{0,008} = 0,2$.

Ответ: 0,2

3) Вычислим произведение $\sqrt[4]{324} \cdot \sqrt[4]{4}$, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

Применяем свойство для корней четвертой степени:

$\sqrt[4]{324} \cdot \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{324 \cdot 4}$

Вычислим произведение под корнем:

$324 \cdot 4 = 1296$

Теперь нам нужно найти $\sqrt[4]{1296}$.

Найдем число, четвертая степень которого равна 1296. Можно заметить, что $1296 = 6^4$, так как $6 \cdot 6 = 36$, $36 \cdot 6 = 216$ и $216 \cdot 6 = 1296$.

Другой способ — разложить подкоренное выражение на множители:

$\sqrt[4]{324 \cdot 4} = \sqrt[4]{(18^2) \cdot (2^2)} = \sqrt[4]{(18 \cdot 2)^2} = \sqrt[4]{36^2}$

Используя свойство $\sqrt[n]{a^k} = a^{k/n}$, получаем:

$\sqrt[4]{36^2} = 36^{2/4} = 36^{1/2} = \sqrt{36} = 6$.

Следовательно, $\sqrt[4]{1296} = 6$.

Ответ: 6

4) Для вычисления произведения $\sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[5]{16}$ снова применим свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

В данном случае $n=5$:

$\sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[5]{16} = \sqrt[5]{2 \cdot 16}$

Выполним умножение под знаком корня:

$2 \cdot 16 = 32$

Получаем выражение:

$\sqrt[5]{32}$

Найдем число, которое при возведении в пятую степень дает 32. Мы знаем, что $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Следовательно, $\sqrt[5]{32} = 2$.

Ответ: 2