Номер 28, страница 21 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Параграф 4. Арифметический корень натуральной степени. Глава 1. Действительные числа - номер 28, страница 21.

Условие.

Вычислить (28—30).

28 1) $\sqrt[6]{36^3}$;

2) $\sqrt[12]{64^2}$;

3) $\sqrt[4]{\left(\frac{1}{25}\right)^2}$;

4) $\sqrt[8]{225^4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Вычислим значение выражения $\sqrt[6]{36^3}$.
Для упрощения этого выражения можно использовать свойство корней и степеней: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$\sqrt[6]{36^3} = 36^{\frac{3}{6}} = 36^{\frac{1}{2}}$.
Степень $\frac{1}{2}$ означает квадратный корень:
$36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$.
Также можно решить, представив подкоренное число в виде степени: $36 = 6^2$.
$\sqrt[6]{36^3} = \sqrt[6]{(6^2)^3} = \sqrt[6]{6^{2 \cdot 3}} = \sqrt[6]{6^6}$.
По определению корня n-ой степени $\sqrt[n]{a^n} = a$ (для $a \ge 0$), получаем:
$\sqrt[6]{6^6} = 6$.
Ответ: 6

2) Вычислим значение выражения $\sqrt[12]{64^2}$.
Используем свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:
$\sqrt[12]{64^2} = 64^{\frac{2}{12}} = 64^{\frac{1}{6}}$.
Это корень шестой степени из 64. Найдем число, которое при возведении в 6-ю степень дает 64.
Поскольку $2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$, то:
$64^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{64} = 2$.
Альтернативный способ: представить 64 как степень числа 2, то есть $64 = 2^6$.
$\sqrt[12]{64^2} = \sqrt[12]{(2^6)^2} = \sqrt[12]{2^{6 \cdot 2}} = \sqrt[12]{2^{12}}$.
По свойству $\sqrt[n]{a^n} = a$, получаем:
$\sqrt[12]{2^{12}} = 2$.
Ответ: 2

3) Вычислим значение выражения $\sqrt[4]{\left(\frac{1}{25}\right)^2}$.
Используем свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:
$\sqrt[4]{\left(\frac{1}{25}\right)^2} = \left(\frac{1}{25}\right)^{\frac{2}{4}} = \left(\frac{1}{25}\right)^{\frac{1}{2}}$.
Степень $\frac{1}{2}$ означает квадратный корень:
$\left(\frac{1}{25}\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}$.
Альтернативный способ: представить $\frac{1}{25}$ как квадрат дроби.
$\frac{1}{25} = \left(\frac{1}{5}\right)^2$.
$\sqrt[4]{\left(\frac{1}{25}\right)^2} = \sqrt[4]{\left(\left(\frac{1}{5}\right)^2\right)^2} = \sqrt[4]{\left(\frac{1}{5}\right)^{2 \cdot 2}} = \sqrt[4]{\left(\frac{1}{5}\right)^4}$.
По свойству $\sqrt[n]{a^n} = a$, получаем:
$\sqrt[4]{\left(\frac{1}{5}\right)^4} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

4) Вычислим значение выражения $\sqrt[8]{225^4}$.
Используем свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:
$\sqrt[8]{225^4} = 225^{\frac{4}{8}} = 225^{\frac{1}{2}}$.
Степень $\frac{1}{2}$ означает квадратный корень:
$225^{\frac{1}{2}} = \sqrt{225}$.
Поскольку $15^2 = 225$, то $\sqrt{225} = 15$.
Альтернативный способ: представить 225 как $15^2$.
$\sqrt[8]{225^4} = \sqrt[8]{(15^2)^4} = \sqrt[8]{15^{2 \cdot 4}} = \sqrt[8]{15^8}$.
По свойству $\sqrt[n]{a^n} = a$, получаем:
$\sqrt[8]{15^8} = 15$.
Ответ: 15