Номер 34, страница 21 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 4. Арифметический корень натуральной степени - номер 34, страница 21.

Условие.

34 1) $\sqrt[3]{5^3 \cdot 7^3};$

2) $\sqrt[4]{11^4 \cdot 3^4};$

3) $\sqrt[5]{(0,2)^5 \cdot 8^5};$

4) $\sqrt[7]{\left(\frac{1}{3}\right)^7 \cdot 21^7}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для решения данного примера воспользуемся свойством степени произведения $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ и свойством корня $n$-ой степени $\sqrt[n]{x^n} = x$ (для $x \geq 0$).

Сначала сгруппируем подкоренное выражение:

$\sqrt[3]{5^3 \cdot 7^3} = \sqrt[3]{(5 \cdot 7)^3}$

Вычислим произведение в скобках:

$5 \cdot 7 = 35$

Теперь выражение принимает вид:

$\sqrt[3]{35^3}$

Применяя свойство корня, получаем:

$\sqrt[3]{35^3} = 35$

Ответ: $35$

2) Этот пример решается аналогично предыдущему, используя те же свойства.

Сгруппируем подкоренное выражение, используя свойство степени произведения:

$\sqrt[4]{11^4 \cdot 3^4} = \sqrt[4]{(11 \cdot 3)^4}$

Вычислим произведение в скобках:

$11 \cdot 3 = 33$

Подставим результат в выражение:

$\sqrt[4]{33^4}$

Теперь извлечем корень четвертой степени:

$\sqrt[4]{33^4} = 33$

Ответ: $33$

3) Решаем по той же схеме.

Применим свойство степени произведения к подкоренному выражению:

$\sqrt[5]{(0,2)^5 \cdot 8^5} = \sqrt[5]{(0,2 \cdot 8)^5}$

Выполним умножение в скобках:

$0,2 \cdot 8 = 1,6$

Подставим полученное значение в выражение:

$\sqrt[5]{(1,6)^5}$

Извлечем корень пятой степени:

$\sqrt[5]{(1,6)^5} = 1,6$

Ответ: $1,6$

4) Данный пример также решается с помощью свойства степени произведения и свойства корня.

Сгруппируем множители под корнем:

$\sqrt[7]{(\frac{1}{3})^7 \cdot 21^7} = \sqrt[7]{(\frac{1}{3} \cdot 21)^7}$

Вычислим произведение в скобках:

$\frac{1}{3} \cdot 21 = \frac{21}{3} = 7$

Теперь выражение выглядит так:

$\sqrt[7]{7^7}$

Извлекаем корень седьмой степени:

$\sqrt[7]{7^7} = 7$

Ответ: $7$