Номер 30, страница 21 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 4. Арифметический корень натуральной степени - номер 30, страница 21.

Условие.

30 1) $\sqrt[3]{-8}$;

2) $\sqrt[15]{-1}$;

3) $\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}$;

4) $\sqrt[5]{-1024}$;

5) $\sqrt[3]{-34^3}$;

6) $\sqrt[7]{-8^7}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Требуется найти кубический корень из -8. Корень нечетной степени (в данном случае, 3) из отрицательного числа является действительным отрицательным числом. Мы ищем число, которое при возведении в куб дает -8. Поскольку $2^3 = 8$, то $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$. Следовательно, $ \sqrt[3]{-8} = -2 $.
Ответ: -2

2) Требуется найти корень 15-й степени из -1. Так как показатель корня 15 является нечетным числом, действительный корень существует. Мы ищем число, которое при возведении в 15-ю степень дает -1. Известно, что число -1 в любой нечетной степени равно -1. Таким образом, $(-1)^{15} = -1$. Значит, $ \sqrt[15]{-1} = -1 $.
Ответ: -1

3) Требуется найти кубический корень из дроби $ -\frac{1}{27} $. Используем свойство корня из дроби $ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $ и свойство корня нечетной степени из отрицательного числа $ \sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a} $:
$ \sqrt[3]{-\frac{1}{27}} = -\sqrt[3]{\frac{1}{27}} = -\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{27}} $.
Так как $ \sqrt[3]{1} = 1 $ и $ \sqrt[3]{27} = 3 $ (потому что $ 3^3 = 27 $), итоговый результат равен $ -\frac{1}{3} $.
Ответ: $ -\frac{1}{3} $

4) Требуется найти корень 5-й степени из -1024. Показатель корня 5 является нечетным числом. Мы можем вынести знак минус из-под знака корня: $ \sqrt[5]{-1024} = -\sqrt[5]{1024} $. Теперь найдем число, которое в 5-й степени равно 1024. Это число 4, так как $ 4^5 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 1024 $. Следовательно, $ \sqrt[5]{-1024} = -4 $.
Ответ: -4

5) Требуется найти значение выражения $ \sqrt[3]{-343^3} $. Так как показатель корня 3 является нечетным, мы можем внести знак минус под знак степени: $ -343^3 = (-343)^3 $. Тогда выражение принимает вид $ \sqrt[3]{(-343)^3} $. По свойству корня нечетной степени, $ \sqrt[n]{a^n} = a $ для любого нечетного $ n $. В нашем случае $ n=3 $ и $ a=-343 $, поэтому $ \sqrt[3]{(-343)^3} = -343 $.
Ответ: -343

6) Требуется найти значение выражения $ \sqrt[7]{-8^7} $. Показатель корня 7 является нечетным. Аналогично предыдущему примеру, $ -8^7 = (-8)^7 $. Перепишем выражение: $ \sqrt[7]{(-8)^7} $. Используя свойство $ \sqrt[n]{a^n} = a $ для нечетного $ n $, где $ n=7 $ и $ a=-8 $, получаем результат: $ \sqrt[7]{(-8)^7} = -8 $.
Ответ: -8