Номер 23, страница 16 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия - номер 23, страница 16.

Условие.

23 Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 30. Найти:

1) $b_1$, если $q = \frac{1}{5}$;

2) $q$, если $b_1 = 20$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Для того чтобы сумма существовала, должно выполняться условие $|q| < 1$. Из условия задачи нам известно, что $S = 30$.

1) $b_1$, если $q = \frac{1}{5}$

Подставим известные значения $S=30$ и $q = \frac{1}{5}$ в формулу суммы. Проверяем условие: $|q| = |\frac{1}{5}| = \frac{1}{5} < 1$, значит, прогрессия является бесконечно убывающей.$30 = \frac{b_1}{1 - \frac{1}{5}}$Выполним вычитание в знаменателе:$1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$Получаем уравнение:$30 = \frac{b_1}{\frac{4}{5}}$Из этого уравнения находим $b_1$:$b_1 = 30 \cdot \frac{4}{5} = \frac{30 \cdot 4}{5} = 6 \cdot 4 = 24$

Ответ: $b_1 = 24$.

2) $q$, если $b_1 = 20$

Подставим известные значения $S=30$ и $b_1 = 20$ в формулу:$30 = \frac{20}{1 - q}$Выразим из этого уравнения знаменатель дроби $(1 - q)$:$1 - q = \frac{20}{30}$Сокращаем дробь:$1 - q = \frac{2}{3}$Теперь находим $q$:$q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$Проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$:$|q| = |\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$. Условие выполняется.

Ответ: $q = \frac{1}{3}$.