Номер 18, страница 16 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия - номер 18, страница 16.

Условие.

18 Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:

1) $q = -\frac{1}{2}, b_1 = \frac{1}{8};$

2) $q = \frac{1}{3}, b_5 = \frac{1}{81};$

3) $q = -\frac{1}{3}, b_1 = 9;$

4) $q = -\frac{1}{2}, b_4 = \frac{1}{8}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Условием существования суммы является $|q| < 1$.

1) Дано: $q = -\frac{1}{2}$, $b_1 = \frac{1}{8}$.

Знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{2}$. Его модуль $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$, что меньше 1. Следовательно, данная прогрессия является бесконечно убывающей, и можно найти её сумму.

Подставим известные значения в формулу суммы:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\frac{1}{8}}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{\frac{1}{8}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{2}}$.

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$S = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 2}{8 \cdot 3} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$.

2) Дано: $q = \frac{1}{3}$, $b_5 = \frac{1}{81}$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{3}$. Его модуль $|q| = |\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$, значит, прогрессия является бесконечно убывающей.

Для вычисления суммы необходим первый член прогрессии $b_1$. Мы можем найти его, используя формулу n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

В нашем случае $n=5$, поэтому $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$.

Выразим $b_1$ и подставим известные значения:

$b_1 = \frac{b_5}{q^4} = \frac{\frac{1}{81}}{(\frac{1}{3})^4} = \frac{\frac{1}{81}}{\frac{1}{81}} = 1$.

Теперь, зная $b_1$, найдём сумму прогрессии:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

3) Дано: $q = -\frac{1}{3}$, $b_1 = 9$.

Знаменатель $q = -\frac{1}{3}$. Его модуль $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$, следовательно, прогрессия бесконечно убывающая.

Подставим известные значения в формулу суммы:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{9}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{9}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{4}{3}}$.

Выполним деление:

$S = 9 \cdot \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$.

Ответ: $\frac{27}{4}$.

4) Дано: $q = -\frac{1}{2}$, $b_4 = \frac{1}{8}$.

Знаменатель $q = -\frac{1}{2}$. Его модуль $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, значит, прогрессия бесконечно убывающая.

Сначала найдём первый член прогрессии $b_1$ по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для $n=4$ имеем: $b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$.

Выразим $b_1$ и подставим известные значения:

$b_1 = \frac{b_4}{q^3} = \frac{\frac{1}{8}}{(-\frac{1}{2})^3} = \frac{\frac{1}{8}}{-\frac{1}{8}} = -1$.

Теперь найдём сумму прогрессии:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{-1}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{-1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-1}{\frac{3}{2}}$.

$S = -1 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}$.

Ответ: $-\frac{2}{3}$.