Номер 21, страница 16 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия - номер 21, страница 16.

Условие.

21 Выяснить, является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой n-го члена:

1) $b_n = 3 \cdot (-2)^n$;

2) $b_n = -5 \cdot 4^n$;

3) $b_n = 8 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$;

4) $b_n = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя $q$ меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Для каждой последовательности найдем знаменатель $q$ и проверим это условие.

1) $b_n = 3 \cdot (-2)^n$;

Чтобы найти знаменатель $q$, разделим $(n+1)$-й член последовательности на $n$-й:

$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3 \cdot (-2)^{n+1}}{3 \cdot (-2)^n} = \frac{(-2)^n \cdot (-2)}{(-2)^n} = -2$.

Теперь найдем модуль знаменателя:

$|q| = |-2| = 2$.

Так как $2 \ge 1$, условие $|q| < 1$ не выполняется. Следовательно, последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Ответ: не является.

2) $b_n = -5 \cdot 4^n$;

Найдем знаменатель $q$:

$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{-5 \cdot 4^{n+1}}{-5 \cdot 4^n} = \frac{4^n \cdot 4}{4^n} = 4$.

Найдем модуль знаменателя:

$|q| = |4| = 4$.

Так как $4 \ge 1$, условие $|q| < 1$ не выполняется. Следовательно, последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Ответ: не является.

3) $b_n = 8 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$;

Эта последовательность задана формулой $n$-го члена вида $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Отсюда можно сразу определить знаменатель прогрессии:

$q = -\frac{1}{3}$.

Найдем модуль знаменателя:

$|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$.

Так как $\frac{1}{3} < 1$, условие $|q| < 1$ выполняется. Следовательно, последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Ответ: является.

4) $b_n = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}.$

Эта последовательность также задана формулой вида $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Знаменатель прогрессии равен:

$q = -\frac{1}{2}$.

Найдем модуль знаменателя:

$|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.

Так как $\frac{1}{2} < 1$, условие $|q| < 1$ выполняется. Следовательно, последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Ответ: является.