Номер 16, страница 15 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия - номер 16, страница 15.

Условие.

16 Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если:

1) $b_1 = 40, b_2 = -20;$

2) $b_7 = 12, b_{11} = \frac{3}{4};$

3) $b_7 = -30, b_6 = 15;$

4) $b_5 = 9, b_{10} = -\frac{1}{27}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя $q$ меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Для решения задачи необходимо найти знаменатель прогрессии в каждом из случаев и проверить, выполняется ли это условие.

1) Даны члены прогрессии $b_1 = 40$ и $b_2 = -20$.

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ находится как отношение последующего члена к предыдущему:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-20}{40} = -\frac{1}{2}$

Теперь найдем модуль знаменателя:

$|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$

Так как $\frac{1}{2} < 1$, условие $|q| < 1$ выполняется. Следовательно, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: да, является.

2) Даны члены прогрессии $b_7 = 12$ и $b_{11} = \frac{3}{4}$.

Для нахождения знаменателя воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$. В нашем случае:

$b_{11} = b_7 \cdot q^{11-7} = b_7 \cdot q^4$

Подставим известные значения и выразим $q^4$:

$\frac{3}{4} = 12 \cdot q^4$

$q^4 = \frac{3}{4 \cdot 12} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}$

Из уравнения $q^4 = \frac{1}{16}$ следует, что $q = \frac{1}{2}$ или $q = -\frac{1}{2}$. В обоих случаях модуль знаменателя равен:

$|q| = |\pm\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$

Так как $\frac{1}{2} < 1$, условие $|q| < 1$ выполняется. Следовательно, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: да, является.

3) Даны члены прогрессии $b_7 = -30$ и $b_6 = 15$.

Найдем знаменатель прогрессии:

$q = \frac{b_7}{b_6} = \frac{-30}{15} = -2$

Найдем модуль знаменателя:

$|q| = |-2| = 2$

Так как $2 > 1$, условие $|q| < 1$ не выполняется. Следовательно, данная геометрическая прогрессия не является бесконечно убывающей.

Ответ: нет, не является.

4) Даны члены прогрессии $b_5 = 9$ и $b_{10} = -\frac{1}{27}$.

Воспользуемся формулой $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$:

$b_{10} = b_5 \cdot q^{10-5} = b_5 \cdot q^5$

Подставим известные значения и выразим $q^5$:

$-\frac{1}{27} = 9 \cdot q^5$

$q^5 = \frac{-1}{27 \cdot 9} = -\frac{1}{243}$

Поскольку $243 = 3^5$, мы можем записать:

$q^5 = (-\frac{1}{3})^5$

Отсюда, $q = -\frac{1}{3}$.

Найдем модуль знаменателя:

$|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$

Так как $\frac{1}{3} < 1$, условие $|q| < 1$ выполняется. Следовательно, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: да, является.