Номер 9, страница 10 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 2. Действительные числа - номер 9, страница 10.

Условие.

9 Выяснить, каким числом (рациональным или иррациональным) является числовое значение выражения:

1) $(\sqrt{8}-3)(3+2\sqrt{2})$;

2) $(\sqrt{27}-2)(2-3\sqrt{3})$;

3) $(\sqrt{50}+4\sqrt{2})\sqrt{2}$;

4) $(5\sqrt{3}+\sqrt{27}):\sqrt{3}$;

5) $(\sqrt{3}-1)^2+(\sqrt{3}+1)^2$;

6) $(\sqrt{5}-1)^2-(2\sqrt{5}+1)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(\sqrt{8} - 3)(3 + 2\sqrt{2})$

Сначала упростим корень в первом множителе: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

После подстановки выражение принимает вид: $(2\sqrt{2} - 3)(3 + 2\sqrt{2})$.

Переставим слагаемые во второй скобке, чтобы было удобнее применить формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(2\sqrt{2} - 3)(2\sqrt{2} + 3) = (2\sqrt{2})^2 - 3^2$.

Теперь вычислим значения квадратов: $(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$, а $3^2 = 9$.

Получаем результат: $8 - 9 = -1$.

Число -1 является целым, следовательно, оно рациональное.

Ответ: рациональное число.

2) $(\sqrt{27} - 2)(2 - 3\sqrt{3})$

Упростим корень в первом множителе: $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.

Выражение теперь выглядит так: $(3\sqrt{3} - 2)(2 - 3\sqrt{3})$.

Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов (каждый член первого на каждый член второго):

$3\sqrt{3} \cdot 2 + 3\sqrt{3} \cdot (-3\sqrt{3}) - 2 \cdot 2 - 2 \cdot (-3\sqrt{3}) = 6\sqrt{3} - 9 \cdot (\sqrt{3})^2 - 4 + 6\sqrt{3}$.

Упрощаем дальше: $6\sqrt{3} - 9 \cdot 3 - 4 + 6\sqrt{3} = 6\sqrt{3} - 27 - 4 + 6\sqrt{3}$.

Приводим подобные слагаемые: $(6\sqrt{3} + 6\sqrt{3}) + (-27 - 4) = 12\sqrt{3} - 31$.

Полученное число $12\sqrt{3} - 31$ содержит иррациональный компонент $\sqrt{3}$, поэтому всё число является иррациональным.

Ответ: иррациональное число.

3) $(\sqrt{50} + 4\sqrt{2})\sqrt{2}$

Упростим корень в скобках: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

Выражение принимает вид: $(5\sqrt{2} + 4\sqrt{2})\sqrt{2}$.

Сначала выполним сложение в скобках: $5\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$.

Теперь умножим результат на $\sqrt{2}$: $(9\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 9 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = 9 \cdot 2 = 18$.

Число 18 является целым, следовательно, оно рациональное.

Ответ: рациональное число.

4) $(5\sqrt{3} + \sqrt{27}) : \sqrt{3}$

Упростим корень в скобках: $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.

Выражение принимает вид: $(5\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) : \sqrt{3}$.

Выполним сложение в скобках: $5\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.

Теперь разделим результат на $\sqrt{3}$: $8\sqrt{3} : \sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8$.

Число 8 является целым, следовательно, оно рациональное.

Ответ: рациональное число.

5) $(\sqrt{3} - 1)^2 + (\sqrt{3} + 1)^2$

Применим формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Раскроем первую скобку: $(\sqrt{3} - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$.

Раскроем вторую скобку: $(\sqrt{3} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$.

Теперь сложим полученные результаты: $(4 - 2\sqrt{3}) + (4 + 2\sqrt{3}) = 4 + 4 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 8$.

Иррациональные части взаимно уничтожились. Число 8 является целым, следовательно, оно рациональное.

Ответ: рациональное число.

6) $(\sqrt{5} - 1)^2 - (2\sqrt{5} + 1)^2$

Снова используем формулы квадрата разности и квадрата суммы.

Раскроем первую скобку: $(\sqrt{5} - 1)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}$.

Раскроем вторую скобку: $(2\sqrt{5} + 1)^2 = (2\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 4 \cdot 5 + 4\sqrt{5} + 1 = 20 + 4\sqrt{5} + 1 = 21 + 4\sqrt{5}$.

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(6 - 2\sqrt{5}) - (21 + 4\sqrt{5}) = 6 - 2\sqrt{5} - 21 - 4\sqrt{5}$.

Приводим подобные слагаемые: $(6 - 21) + (-2\sqrt{5} - 4\sqrt{5}) = -15 - 6\sqrt{5}$.

Полученное число $-15 - 6\sqrt{5}$ содержит иррациональный компонент $\sqrt{5}$, поэтому всё число является иррациональным.

Ответ: иррациональное число.