Номер 6, страница 10 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 2. Действительные числа - номер 6, страница 10.

Условие.

6 (Устно.) Какие из данных десятичных дробей являются иррациональными числами:

1) 16,9;

2) 7,25(4);

3) 1,21221222... (после $n$-й единицы стоит $n$ двоек);

4) 99,1357911... (после запятой записаны подряд все нечётные числа)?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для определения, какие из данных чисел являются иррациональными, необходимо проанализировать их десятичное представление. Рациональные числа могут быть представлены в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Иррациональные числа представляются в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

1) 16,9

Это число является конечной десятичной дробью. Любая конечная десятичная дробь является рациональным числом, так как ее можно представить в виде обыкновенной дроби. В данном случае:$16,9 = \frac{169}{10}$.Поскольку число представимо в виде отношения двух целых чисел, оно является рациональным.

Ответ: не является иррациональным числом (является рациональным).

2) 7,25(4)

Это число является бесконечной периодической десятичной дробью. Цифра 4 в скобках означает, что она бесконечно повторяется: $7,25444...$. Любая бесконечная периодическая дробь является рациональным числом. Её можно преобразовать в обыкновенную дробь.Пусть $x = 7,25(4)$.$100x = 725,(4)$$1000x = 7254,(4)$$1000x - 100x = 7254,(4) - 725,(4)$$900x = 6529$$x = \frac{6529}{900}$Так как число представимо в виде дроби, оно рациональное.

Ответ: не является иррациональным числом (является рациональным).

3) 1,21221222... (после n-й единицы стоит n двоек)

Это число представляет собой бесконечную десятичную дробь. Чтобы определить, является ли оно иррациональным, нужно проверить, является ли его запись непериодической.Запись числа имеет следующий вид: $1,2122122212222...$Мы видим, что после первой единицы стоит одна двойка, после второй — две двойки, после третьей — три, и так далее. Количество двоек в группах постоянно увеличивается. Если бы у дроби был период, то последовательность цифр повторялась бы. Однако, поскольку длина блоков из двоек неограниченно растет, никакая конечная последовательность цифр не может быть периодом. Следовательно, эта дробь является бесконечной и непериодической.

Ответ: является иррациональным числом.

4) 99,1357911... (после запятой записаны подряд все нечётные числа)

Дробная часть этого числа формируется последовательной записью всех нечетных натуральных чисел: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ...$Число является бесконечной десятичной дробью, так как последовательность нечетных чисел бесконечна. Проверим ее на периодичность. Предположим, что дробь периодическая и имеет период длиной $L$. Однако в последовательности нечетных чисел встречаются числа, содержащие сколь угодно длинные последовательности нулей (например, число $10^{2L}+1$ — нечетное и содержит $2L-1$ нулей подряд) или других цифр. Наличие таких конструкций, длина которых превышает предполагаемую длину периода $L$, делает невозможным существование периода. Следовательно, последовательность цифр не является периодической.

Ответ: является иррациональным числом.