Номер 20, страница 16 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия - номер 20, страница 16.

Условие.

20 Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби:

1) $0,(5)$;

2) $0,(8)$;

3) $0,(32)$;

4) $0,2(5)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для преобразования бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную, мы используем алгебраический метод или специальные правила.

1) 0,(5)

Это чистая периодическая дробь (период начинается сразу после запятой).

Пусть $x = 0,(5)$. Это означает $x = 0.555...$

Умножим обе части уравнения на 10, так как в периоде одна цифра:

$10x = 5.555...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое:

$10x - x = 5.555... - 0.555...$

$9x = 5$

$x = \frac{5}{9}$

Правило: Чтобы преобразовать чистую периодическую дробь в обыкновенную, нужно в числитель записать число, стоящее в периоде, а в знаменатель — столько девяток, сколько цифр в периоде. В данном случае в периоде одна цифра (5), поэтому знаменатель равен 9.

Ответ: $\frac{5}{9}$

2) 0,(8)

Аналогично первому пункту, это чистая периодическая дробь.

Пусть $x = 0,(8) = 0.888...$

Умножим на 10:

$10x = 8.888...$

Вычтем исходное уравнение:

$10x - x = 8.888... - 0.888...$

$9x = 8$

$x = \frac{8}{9}$

Правило: В числителе — период (8), в знаменателе — одна девятка.

Ответ: $\frac{8}{9}$

3) 0,(32)

Это чистая периодическая дробь с двумя цифрами в периоде.

Пусть $x = 0,(32) = 0.323232...$

Умножим обе части уравнения на 100, так как в периоде две цифры:

$100x = 32.323232...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$100x - x = 32.323232... - 0.323232...$

$99x = 32$

$x = \frac{32}{99}$

Правило: В числителе — период (32), в знаменателе — две девятки (99), так как в периоде две цифры.

Ответ: $\frac{32}{99}$

4) 0,2(5)

Это смешанная периодическая дробь (между запятой и периодом есть цифры).

Пусть $x = 0,2(5) = 0.2555...$

Сначала умножим на 10, чтобы непериодическая часть оказалась до запятой:

$10x = 2.555...$

Теперь умножим еще раз на 10, чтобы сдвинуть запятую на один период:

$100x = 25.555...$

Вычтем второе уравнение из третьего:

$100x - 10x = 25.555... - 2.555...$

$90x = 23$

$x = \frac{23}{90}$

Правило: Чтобы преобразовать смешанную периодическую дробь в обыкновенную, нужно из числа, образованного цифрами до конца первого периода (25), вычесть число, стоящее до периода (2), и эту разность записать в числитель. В знаменатель же записать столько девяток, сколько цифр в периоде (одна), и дописать столько нулей, сколько цифр стоит между запятой и периодом (одна).
Числитель: $25 - 2 = 23$.
Знаменатель: 90.

Ответ: $\frac{23}{90}$