Номер 19, страница 16 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия - номер 19, страница 16.

Условие.

19 Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

1) 6, 1, $\frac{1}{6}$, ...;

2) -25, -5, -1, ....

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — это первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Эта формула справедлива только для прогрессий, у которых модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

1) В геометрической прогрессии 6, 1, $\frac{1}{6}$, ... первый член $b_1 = 6$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{1}{6}$

Так как $|q|=|\frac{1}{6}|<1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и мы можем найти ее сумму.

Вычислим сумму по формуле:

$S = \frac{6}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{6}{\frac{5}{6}} = 6 \cdot \frac{6}{5} = \frac{36}{5} = 7.2$

Ответ: $7.2$

2) В геометрической прогрессии –25, –5, –1, ... первый член $b_1 = -25$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{-5}{-25} = \frac{1}{5}$

Так как $|q|=|\frac{1}{5}|<1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

Вычислим ее сумму:

$S = \frac{-25}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{-25}{\frac{4}{5}} = -25 \cdot \frac{5}{4} = -\frac{125}{4} = -31.25$

Ответ: $-31.25$