Номер 26, страница 16 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия - номер 26, страница 16.

Условие.

26 В угол, равный $60^\circ$, последовательно вписаны окружности, касающиеся друг друга (рис. 5, б). Радиус первой окружно-

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$, равный $\alpha = 60^\circ$. В этот угол вписана последовательность окружностей с центрами $O_1, O_2, ..., O_n, ...$ и радиусами $r_1, r_2, ..., r_n, ...$ соответственно. Все окружности касаются сторон угла, а каждая последующая окружность касается предыдущей.

Центры всех окружностей, вписанных в угол, лежат на его биссектрисе. Биссектриса делит угол $\alpha$ на два угла по $\alpha/2 = 60^\circ/2 = 30^\circ$.

Рассмотрим n-ю окружность с центром $O_n$ и радиусом $r_n$. Опустим перпендикуляр из центра $O_n$ на одну из сторон угла. Пусть точка касания — $T_n$. Получим прямоугольный треугольник $\triangle O T_n O_n$ с прямым углом при вершине $T_n$.

В этом треугольнике катет $O_n T_n$ равен радиусу $r_n$, а угол $\angle T_n O O_n = 30^\circ$. Расстояние от вершины угла $O$ до центра окружности $O_n$ является гипотенузой. Таким образом, мы можем записать:

$\sin(30^\circ) = \frac{O_n T_n}{O O_n} = \frac{r_n}{O O_n}$

Так как $\sin(30^\circ) = 1/2$, получаем:

$\frac{1}{2} = \frac{r_n}{O O_n} \implies O O_n = 2 r_n$

Это соотношение справедливо для любой окружности из последовательности.

а) Найти зависимость между радиусами соседних окружностей.

Рассмотрим две соседние окружности с центрами $O_n$ и $O_{n+1}$ и радиусами $r_n$ и $r_{n+1}$. Предположим, что первая окружность (с радиусом $r_1$) — самая дальняя от вершины угла, то есть $r_1 > r_2 > r_3 > ...$.

Центры $O, O_{n+1}, O_n$ лежат на одной прямой — биссектрисе угла. Расстояние между центрами двух касающихся окружностей равно сумме их радиусов: $O_n O_{n+1} = r_n + r_{n+1}$.

Из расположения центров на биссектрисе следует, что $O O_n = O O_{n+1} + O_n O_{n+1}$.

Подставим в это равенство выражения для расстояний, которые мы нашли ранее ($O O_k = 2 r_k$):

$2 r_n = 2 r_{n+1} + (r_n + r_{n+1})$

Упростим выражение для нахождения связи между $r_n$ и $r_{n+1}$:

$2 r_n - r_n = 2 r_{n+1} + r_{n+1}$

$r_n = 3 r_{n+1}$

Отсюда следует, что радиус каждой следующей окружности в 3 раза меньше радиуса предыдущей:

$r_{n+1} = \frac{1}{3} r_n$

Таким образом, последовательность радиусов $r_1, r_2, r_3, ...$ образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $q = 1/3$.

Ответ: Радиус каждой следующей окружности в 3 раза меньше радиуса предыдущей, $r_{n+1} = \frac{1}{3} r_n$. Последовательность радиусов является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 1/3$.

б) Найти сумму площадей всех окружностей, если радиус первой окружности равен R.

Пусть радиус первой окружности $r_1 = R$. Тогда радиус n-й окружности определяется по формуле n-го члена геометрической прогрессии:

$r_n = r_1 \cdot q^{n-1} = R \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$

Площадь n-й окружности равна $S_n = \pi r_n^2$. Подставим выражение для $r_n$:

$S_n = \pi \left(R \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\right)^2 = \pi R^2 \cdot \left(\left(\frac{1}{3}\right)^2\right)^{n-1} = \pi R^2 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{n-1}$

Последовательность площадей $S_1, S_2, S_3, ...$ также является геометрической прогрессией. Ее первый член $S_1 = \pi R^2$, а знаменатель $q_S = 1/9$.

Так как знаменатель прогрессии $|q_S| = 1/9 < 1$, мы можем найти сумму площадей всех (бесконечного числа) окружностей по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$S = \frac{S_1}{1 - q_S}$

Подставим наши значения:

$S = \frac{\pi R^2}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\pi R^2}{\frac{8}{9}} = \frac{9 \pi R^2}{8}$

Ответ: Сумма площадей всех окружностей равна $\frac{9 \pi R^2}{8}$.