Номер 25, страница 16 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия - номер 25, страница 16.

Условие.

25 На куб со стороной $a$ поставили куб со стороной $\frac{a}{2}$, на него

куб со стороной $\frac{a}{4}$, затем куб со стороной $\frac{a}{8}$ и т. д. (рис. 5, а).

Найти высоту получившейся фигуры.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы найти высоту получившейся фигуры, необходимо сложить высоты всех кубов, установленных друг на друга. Высота каждого куба равна длине его стороны.

Согласно условию, стороны кубов образуют последовательность: $a, \frac{a}{2}, \frac{a}{4}, \frac{a}{8}, \dots$ Эта последовательность продолжается до бесконечности, так как в условии указано "и т. д.".

Таким образом, общая высота фигуры $H$ является суммой длин сторон всех кубов: $H = a + \frac{a}{2} + \frac{a}{4} + \frac{a}{8} + \dots$

Это выражение является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Первый член этой прогрессии $b_1 = a$.

Знаменатель прогрессии $q$ можно найти, разделив любой член прогрессии на предыдущий: $q = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$

Поскольку модуль знаменателя прогрессии $|q| = |\frac{1}{2}| < 1$, данная прогрессия является сходящейся, и ее сумму можно вычислить по формуле: $S = \frac{b_1}{1 - q}$

Подставим значения $b_1 = a$ и $q = \frac{1}{2}$ в формулу для нахождения высоты $H$: $H = \frac{a}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{a}{\frac{1}{2}} = 2a$

Ответ: $2a$