Номер 37, страница 22 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 4. Арифметический корень натуральной степени - номер 37, страница 22.

Условие.

37¹ Извлечь корень:

1) $ \sqrt[3]{64x^3 z^6} $;

2) $ \sqrt[4]{a^8 b^{12}} $;

3) $ \sqrt[5]{32 x^{10} y^{20}} $;

4) $ \sqrt[6]{a^{12} b^{18}} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы извлечь корень из выражения $\sqrt[3]{64x^3z^6}$, воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt[n]{A \cdot B} = \sqrt[n]{A} \cdot \sqrt[n]{B}$.
$\sqrt[3]{64x^3z^6} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{z^6}$.
Поскольку показатель корня (3) — нечетное число, при извлечении корня знак сохраняется, и модуль не используется. Вычислим каждый множитель:
- Корень кубический из 64: $\sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3} = 4$.
- Корень кубический из $x^3$: $\sqrt[3]{x^3} = x$.
- Корень кубический из $z^6$: $\sqrt[3]{z^6} = z^{6/3} = z^2$.
Объединяем результаты: $4 \cdot x \cdot z^2 = 4xz^2$.
Ответ: $4xz^2$.

2) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{a^8b^{12}}$. Показатель корня (4) — четное число. При извлечении корня четной степени из выражения, которое может быть отрицательным, необходимо использовать модуль: $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного $n$.
Применим свойство корня из произведения:
$\sqrt[4]{a^8b^{12}} = \sqrt[4]{a^8} \cdot \sqrt[4]{b^{12}}$.
Преобразуем подкоренные выражения, чтобы показатель степени был равен показателю корня:
- Для $a^8$: $\sqrt[4]{a^8} = \sqrt[4]{(a^2)^4} = |a^2|$. Так как $a^2$ всегда неотрицательно, $|a^2| = a^2$.
- Для $b^{12}$: $\sqrt[4]{b^{12}} = \sqrt[4]{(b^3)^4} = |b^3|$. Знак $b^3$ зависит от знака $b$, поэтому модуль необходимо оставить.
Объединяем результаты: $a^2 \cdot |b^3| = a^2|b^3|$.
Ответ: $a^2|b^3|$.

3) Извлечем корень из выражения $\sqrt[5]{32x^{10}y^{20}}$. Показатель корня (5) — нечетный, поэтому модуль не требуется.
Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt[5]{32x^{10}y^{20}} = \sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{x^{10}} \cdot \sqrt[5]{y^{20}}$.
Вычислим каждый множитель:
- $\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$.
- $\sqrt[5]{x^{10}} = x^{10/5} = x^2$.
- $\sqrt[5]{y^{20}} = y^{20/5} = y^4$.
Объединяем результаты: $2 \cdot x^2 \cdot y^4 = 2x^2y^4$.
Ответ: $2x^2y^4$.

4) Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{a^{12}b^{18}}$. Показатель корня (6) — четное число. Как и в пункте 2, будем использовать правило $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного $n$.
По свойству корня из произведения:
$\sqrt[6]{a^{12}b^{18}} = \sqrt[6]{a^{12}} \cdot \sqrt[6]{b^{18}}$.
Представим степени под корнем в виде степени, кратной 6:
- Для $a^{12}$: $\sqrt[6]{a^{12}} = \sqrt[6]{(a^2)^6} = |a^2|$. Поскольку $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$), то $|a^2| = a^2$.
- Для $b^{18}$: $\sqrt[6]{b^{18}} = \sqrt[6]{(b^3)^6} = |b^3|$. Модуль необходим, так как $b^3$ может быть отрицательным, если $b < 0$.
Объединяем результаты: $a^2 \cdot |b^3| = a^2|b^3|$.
Ответ: $a^2|b^3|$.