Номер 44, страница 22 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 4. Арифметический корень натуральной степени - номер 44, страница 22.

Условие.

44 Упростить выражение:

1) $(\sqrt[3]{x})^6$;

2) $(\sqrt[3]{y^2})^3$;

3) $(\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{b})^6$;

4) $(\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{b^3})^{12}$;

5) $(\sqrt{\sqrt[3]{a^2b}})^6$;

6) $(\sqrt[3]{\sqrt[4]{27a^3}})^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $(\sqrt[3]{x})^6$ представим корень в виде степени с дробным показателем, используя формулу $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$.
$\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$
Тогда исходное выражение примет вид:
$(x^{\frac{1}{3}})^6$
При возведении степени в степень их показатели перемножаются по правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$x^{\frac{1}{3} \cdot 6} = x^{\frac{6}{3}} = x^2$
Ответ: $x^2$

2) В выражении $(\sqrt[3]{y^2})^3$ операция возведения в третью степень является обратной для операции извлечения кубического корня. По определению корня $(\sqrt[n]{a})^n = a$.
Следовательно:
$(\sqrt[3]{y^2})^3 = y^2$
Ответ: $y^2$

3) Для упрощения выражения $(\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{b})^6$ воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$.
$(\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{b})^6 = (\sqrt{a})^6 \cdot (\sqrt[3]{b})^6$
Теперь упростим каждый множитель отдельно, представив корни в виде степеней с дробными показателями:
$(\sqrt{a})^6 = (a^{\frac{1}{2}})^6 = a^{\frac{1}{2} \cdot 6} = a^3$
$(\sqrt[3]{b})^6 = (b^{\frac{1}{3}})^6 = b^{\frac{1}{3} \cdot 6} = b^2$
Перемножим полученные результаты:
$a^3 \cdot b^2 = a^3b^2$
Ответ: $a^3b^2$

4) В выражении $(\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{b^3})^{12}$ сначала используем свойство возведения произведения в степень:
$(\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{b^3})^{12} = (\sqrt[3]{a^2})^{12} \cdot (\sqrt[4]{b^3})^{12}$
Упростим каждый множитель, перейдя к степеням с дробными показателями:
$(\sqrt[3]{a^2})^{12} = ((a^2)^{\frac{1}{3}})^{12} = a^{2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 12} = a^{2 \cdot 4} = a^8$
$(\sqrt[4]{b^3})^{12} = ((b^3)^{\frac{1}{4}})^{12} = b^{3 \cdot \frac{1}{4} \cdot 12} = b^{3 \cdot 3} = b^9$
Результат равен произведению упрощенных множителей:
$a^8b^9$
Ответ: $a^8b^9$

5) Упростим выражение $(\sqrt{\sqrt[3]{a^2b}})^6$. Сначала преобразуем вложенные корни по свойству $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}$. В данном случае $m=2$, $n=3$.
$\sqrt{\sqrt[3]{a^2b}} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^2b} = \sqrt[6]{a^2b}$
Теперь возведем полученный корень в степень 6:
$(\sqrt[6]{a^2b})^6 = a^2b$
Ответ: $a^2b$

6) Упростим выражение $(\sqrt[3]{\sqrt[4]{27a^3}})^4$. Сначала упростим корень из корня: $\sqrt[3]{\sqrt[4]{27a^3}} = \sqrt[3 \cdot 4]{27a^3} = \sqrt[12]{27a^3}$.
Теперь возведем в степень 4:
$(\sqrt[12]{27a^3})^4$
Используя представление корня в виде степени с дробным показателем, получим:
$((27a^3)^{\frac{1}{12}})^4 = (27a^3)^{\frac{4}{12}} = (27a^3)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27a^3}$
Теперь извлечем кубический корень из произведения:
$\sqrt[3]{27a^3} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{a^3}$
Так как $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{27} = 3$.
Следовательно, $\sqrt[3]{27a^3} = 3a$.
Ответ: $3a$