Номер 47, страница 23 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 4. Арифметический корень натуральной степени - номер 47, страница 23.

Условие.

47

1) $\frac{\sqrt[3]{49} \cdot \sqrt[3]{112}}{\sqrt[3]{250}};$

2) $\frac{\sqrt[4]{54} \cdot \sqrt[4]{120}}{\sqrt[4]{5}};$

3) $\frac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[4]{2}} + \sqrt[6]{27^2} - \sqrt[3]{\sqrt{64}};$

4) $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}} + \sqrt[4]{18} \cdot \sqrt[4]{4\frac{1}{2}} - \sqrt{\sqrt{256}};$

5) $\sqrt[3]{11-\sqrt{57}} \cdot \sqrt[3]{11+\sqrt{57}};$

6) $\sqrt[4]{17-\sqrt{33}} \cdot \sqrt[4]{17+\sqrt{33}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Чтобы упростить выражение, воспользуемся свойством корней $\frac{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}}{\sqrt[n]{c}} = \sqrt[n]{\frac{a \cdot b}{c}}$ и объединим все члены под один знак кубического корня:

$\frac{\sqrt[3]{49} \cdot \sqrt[3]{112}}{\sqrt[3]{250}} = \sqrt[3]{\frac{49 \cdot 112}{250}}$

Для дальнейшего упрощения разложим числа под корнем на простые множители:

$49 = 7^2$

$112 = 16 \cdot 7 = 2^4 \cdot 7$

$250 = 125 \cdot 2 = 5^3 \cdot 2$

Теперь подставим эти значения обратно в выражение:

$\sqrt[3]{\frac{7^2 \cdot (2^4 \cdot 7)}{5^3 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\frac{7^3 \cdot 2^4}{5^3 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\frac{7^3 \cdot 2^3}{5^3}}$

Извлечем кубический корень из числителя и знаменателя:

$\frac{\sqrt[3]{7^3} \cdot \sqrt[3]{2^3}}{\sqrt[3]{5^3}} = \frac{7 \cdot 2}{5} = \frac{14}{5}$

Ответ: $\frac{14}{5}$.

2)

Объединим все выражения под один знак корня четвертой степени:

$\frac{\sqrt[4]{54} \cdot \sqrt[4]{120}}{\sqrt[4]{5}} = \sqrt[4]{\frac{54 \cdot 120}{5}}$

Сначала сократим дробь под корнем:

$\sqrt[4]{54 \cdot 24}$

Разложим числа 54 и 24 на простые множители:

$54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$

$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

Подставим множители в выражение:

$\sqrt[4]{(2 \cdot 3^3) \cdot (2^3 \cdot 3)} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4} = \sqrt[4]{(2 \cdot 3)^4}$

Извлечем корень четвертой степени:

$2 \cdot 3 = 6$

Ответ: $6$.

3)

Решим выражение, упрощая каждый его член по отдельности.

Первый член: $\frac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[4]{2}} = \sqrt[4]{\frac{32}{2}} = \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.

Второй член: $\sqrt[6]{27^2}$. Используя свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, получаем $27^{\frac{2}{6}} = 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$.

Третий член: $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$. Можно вычислить по шагам: сначала внутренний корень $\sqrt{64} = 8$, затем внешний $\sqrt[3]{8} = 2$.

Сложим и вычтем полученные значения:

$2 + 3 - 2 = 3$

Ответ: $3$.

4)

Вычислим значение выражения по частям, соблюдая порядок действий.

Первый член: $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}$. Переведем смешанную дробь в неправильную: $3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.

$\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2}$.

Второй член (произведение): $\sqrt[4]{18} \cdot \sqrt[4]{4\frac{1}{2}}$. Переведем смешанную дробь $4\frac{1}{2}$ в неправильную $\frac{9}{2}$.

$\sqrt[4]{18} \cdot \sqrt[4]{\frac{9}{2}} = \sqrt[4]{18 \cdot \frac{9}{2}} = \sqrt[4]{9 \cdot 9} = \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.

Третий член: $\sqrt{\sqrt{256}}$. Сначала вычислим внутренний корень: $\sqrt{256} = 16$. Тогда $\sqrt{16} = 4$.

Теперь объединим все части:

$\frac{3}{2} + 3 - 4 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{3}{2} - \frac{2}{2} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

5)

Используем свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$, чтобы объединить выражения под один корень:

$\sqrt[3]{\sqrt{11 - \sqrt{57}} \cdot \sqrt{11 + \sqrt{57}}}$

Далее объединим выражения под внутренним знаком корня:

$\sqrt[3]{\sqrt{(11 - \sqrt{57})(11 + \sqrt{57})}}$

В подкоренном выражении воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(11 - \sqrt{57})(11 + \sqrt{57}) = 11^2 - (\sqrt{57})^2 = 121 - 57 = 64$.

Подставим результат в исходное выражение:

$\sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[3]{8} = 2$.

Ответ: $2$.

6)

Объединим множители под один корень четвертой степени, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$:

$\sqrt[4]{(17 - \sqrt{33})(17 + \sqrt{33})}$

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ к выражению под корнем:

$(17 - \sqrt{33})(17 + \sqrt{33}) = 17^2 - (\sqrt{33})^2 = 289 - 33 = 256$.

В результате получаем:

$\sqrt[4]{256}$

Поскольку $256 = 4^4$, то:

$\sqrt[4]{4^4} = 4$

Ответ: $4$.