Номер 53, страница 23 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 4. Арифметический корень натуральной степени - номер 53, страница 23.

Условие.

53 Доказать, что:

1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}} - \sqrt{4-2\sqrt{3}} = 2;$

2) $\sqrt[3]{9+\sqrt{80}} + \sqrt[3]{9-\sqrt{80}} = 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для доказательства преобразуем выражения под знаками квадратного корня, используя формулы квадрата суммы и разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
Для выражения $4+2\sqrt{3}$ ищем такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=4$ и $2ab=2\sqrt{3}$, откуда $ab=\sqrt{3}$. Подбором находим $a=\sqrt{3}$ и $b=1$. Проверяем: $a^2+b^2=(\sqrt{3})^2+1^2=3+1=4$.
Таким образом, $4+2\sqrt{3} = (\sqrt{3}+1)^2$.
Следовательно, $\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = |\sqrt{3}+1| = \sqrt{3}+1$.
Аналогично для выражения $4-2\sqrt{3}$: $4-2\sqrt{3} = (\sqrt{3}-1)^2$.
Следовательно, $\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = |\sqrt{3}-1| = \sqrt{3}-1$, так как $\sqrt{3} > 1$.
Подставим полученные значения в левую часть исходного равенства:
$\sqrt{4+2\sqrt{3}} - \sqrt{4-2\sqrt{3}} = (\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}-1) = \sqrt{3}+1 - \sqrt{3}+1 = 2$.
Левая часть равна 2, что совпадает с правой частью. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

2) Обозначим левую часть равенства через $x$:
$x = \sqrt[3]{9+\sqrt{80}} + \sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$.
Возведем обе части выражения в куб по формуле $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$:
$x^3 = (\sqrt[3]{9+\sqrt{80}})^3 + (\sqrt[3]{9-\sqrt{80}})^3 + 3 \cdot \sqrt[3]{9+\sqrt{80}} \cdot \sqrt[3]{9-\sqrt{80}} \cdot (\sqrt[3]{9+\sqrt{80}} + \sqrt[3]{9-\sqrt{80}})$.
Упростим это выражение. Сумма кубов равна:
$(9+\sqrt{80}) + (9-\sqrt{80}) = 18$.
Произведение подкоренных выражений, умноженное на 3:
$3 \cdot \sqrt[3]{(9+\sqrt{80})(9-\sqrt{80})} = 3 \cdot \sqrt[3]{9^2 - (\sqrt{80})^2} = 3 \cdot \sqrt[3]{81-80} = 3 \cdot \sqrt[3]{1} = 3$.
Сумма корней в конце выражения равна исходному $x$.
Подставляя все это в уравнение для $x^3$, получаем:
$x^3 = 18 + 3x$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение:
$x^3 - 3x - 18 = 0$.
Проверим, является ли $x=3$ корнем этого уравнения, подставив значение в него:
$3^3 - 3(3) - 18 = 27 - 9 - 18 = 18 - 18 = 0$.
Так как получилось верное равенство $0=0$, то $x=3$ является корнем уравнения. Чтобы показать, что это единственный действительный корень, разложим многочлен на множители. Разделив $x^3 - 3x - 18$ на $(x-3)$, получим $x^2+3x+6$.
Уравнение принимает вид: $(x-3)(x^2+3x+6) = 0$.
Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+3x+6=0$. Его дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$.
Поскольку $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.
Следовательно, $x=3$ является единственным действительным решением. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.