Номер 56, страница 31 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 56, страница 31.

Условие.

56 (Устно.) Представить в виде корня из степени с целым показателем:

1) $x^{\frac{1}{4}}$;

2) $y^{\frac{2}{5}}$;

3) $a^{-\frac{5}{6}}$;

4) $b^{-\frac{1}{3}}$;

5) $(2x)^{\frac{1}{2}}$;

6) $(3b)^{-\frac{2}{3}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данной задачи используется основное свойство степени с рациональным показателем, которое связывает ее с понятием корня: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $n$ – натуральное число ($n \ge 2$), $m$ – целое число, и $a > 0$. Если показатель степени отрицательный, то $a^{-\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{-m}}$.

1) Представим степень $x^{\frac{1}{4}}$ в виде корня. Согласно формуле $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, имеем: основание $a = x$, числитель показателя (степень подкоренного выражения) $m = 1$, знаменатель показателя (показатель корня) $n = 4$. Следовательно, $x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x^1} = \sqrt[4]{x}$.
Ответ: $\sqrt[4]{x}$

2) Представим степень $y^{\frac{2}{5}}$ в виде корня. Используем ту же формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$: основание $a = y$, числитель $m = 2$, знаменатель $n = 5$. Таким образом, $y^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{y^2}$.
Ответ: $\sqrt[5]{y^2}$

3) Представим степень $a^{-\frac{5}{6}}$ в виде корня. Показатель степени является отрицательным числом. Применяем формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $m$ - целое число: основание $a = a$, числитель $m = -5$, знаменатель $n = 6$. Получаем: $a^{-\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{a^{-5}}$. Это выражение также можно записать как $\sqrt[6]{\frac{1}{a^5}}$ или $\frac{1}{\sqrt[6]{a^5}}$. Форма $\sqrt[6]{a^{-5}}$ является корнем из степени с целым показателем.
Ответ: $\sqrt[6]{a^{-5}}$

4) Представим степень $b^{-\frac{1}{3}}$ в виде корня. Аналогично предыдущему пункту, имеем отрицательный показатель. Используем формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$: основание $a = b$, числитель $m = -1$, знаменатель $n = 3$. Следовательно, $b^{-\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{b^{-1}}$.
Ответ: $\sqrt[3]{b^{-1}}$

5) Представим степень $(2x)^{\frac{1}{2}}$ в виде корня. В данном случае основанием степени является выражение $2x$. Применяем формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$: основание $a = 2x$, числитель $m = 1$, знаменатель $n = 2$. Получаем: $(2x)^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{(2x)^1}$. Корень второй степени ($ \sqrt[2]{} $) принято записывать как квадратный корень ($ \sqrt{} $) без указания показателя. Таким образом, $(2x)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2x}$.
Ответ: $\sqrt{2x}$

6) Представим степень $(3b)^{-\frac{2}{3}}$ в виде корня. Основанием степени является выражение $3b$, а показатель отрицательный. Используем формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$: основание $a = 3b$, числитель $m = -2$, знаменатель $n = 3$. Подставляя значения, получаем: $(3b)^{-\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(3b)^{-2}}$.
Ответ: $\sqrt[3]{(3b)^{-2}}$