Номер 61, страница 31 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 61, страница 31.

Условие.

61 Найти значение выражения:

1) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{a}$ при $a = 0,09;$

2) $\sqrt{b} : \sqrt[6]{b}$ при $b = 27;$

3) $\frac{\sqrt{b} \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[6]{b}}$ при $b = 1,3;$

4) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[12]{a^5}$ при $a = 2,7.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для того чтобы найти значение выражения $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{a}$ при $a = 0,09$, сначала упростим его.
Воспользуемся свойством корня и представим его в виде степени с рациональным показателем $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$:
$\sqrt[3]{a} = a^{1/3}$
$\sqrt[6]{a} = a^{1/6}$
Теперь перемножим степени с одинаковым основанием. Для этого нужно сложить их показатели: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
$a^{1/3} \cdot a^{1/6} = a^{1/3 + 1/6}$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$a^{2/6 + 1/6} = a^{3/6} = a^{1/2} = \sqrt{a}$
Теперь подставим значение $a = 0,09$ в упрощенное выражение:
$\sqrt{0,09} = 0,3$
Ответ: 0,3.

2) Найдем значение выражения $\sqrt{b} : \sqrt[6]{b}$ при $b = 27$.
Сначала упростим выражение, представив корни в виде степеней:
$\sqrt{b} = b^{1/2}$
$\sqrt[6]{b} = b^{1/6}$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $x^m : x^n = x^{m-n}$.
$b^{1/2} : b^{1/6} = b^{1/2 - 1/6}$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$b^{3/6 - 1/6} = b^{2/6} = b^{1/3} = \sqrt[3]{b}$
Подставим значение $b = 27$ в полученное выражение:
$\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$
Ответ: 3.

3) Найдем значение выражения $\frac{\sqrt{b}\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[6]{b}}$ при $b = 1,3$.
Упростим выражение, перейдя к степеням с рациональными показателями:
$\frac{b^{1/2} \cdot b^{2/3}}{b^{1/6}}$
В числителе сложим показатели степеней, а затем вычтем показатель знаменателя:
$b^{1/2 + 2/3 - 1/6}$
Приведем все дроби к общему знаменателю 6:
$b^{3/6 + 4/6 - 1/6} = b^{(3+4-1)/6} = b^{6/6} = b^1 = b$
Таким образом, все выражение равно $b$. Подставим заданное значение $b = 1,3$.
Ответ: 1,3.

4) Найдем значение выражения $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[12]{a^5}$ при $a = 2,7$.
Перейдем от корней к степеням:
$a^{1/3} \cdot a^{1/4} \cdot a^{5/12}$
Так как основания степеней одинаковы, сложим их показатели:
$a^{1/3 + 1/4 + 5/12}$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$a^{4/12 + 3/12 + 5/12} = a^{(4+3+5)/12} = a^{12/12} = a^1 = a$
Выражение упрощается до $a$. Подставим значение $a = 2,7$.
Ответ: 2,7.