Номер 67, страница 32 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 67, страница 32.

Условие.

67 Упростить выражение

$\frac{c^{\frac{3}{2}}}{c^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} - \frac{cb^2}{b^2 - c^2} + \frac{2c^2 - 4cb}{c - b}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для упрощения данного выражения необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Исходное выражение:

$$ \frac{c^{\frac{3}{2}}}{c^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} - \frac{cb^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}} - c^{\frac{1}{2}}} + \frac{2c^2 - 4cb}{c - b} $$

1. Преобразуем знаменатели. Знаменатель третьей дроби $c - b$ можно разложить по формуле разности квадратов, учитывая, что $c = (c^{\frac{1}{2}})^2$ и $b = (b^{\frac{1}{2}})^2$:

$$ c - b = (c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(c^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $$

2. Знаменатель второй дроби $b^{\frac{1}{2}} - c^{\frac{1}{2}}$ можно представить как $-(c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$. Используем это, чтобы изменить знак перед второй дробью:

$$ \frac{c^{\frac{3}{2}}}{c^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} - \frac{cb^{\frac{1}{2}}}{-(c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} + \frac{2c^2 - 4cb}{c - b} = \frac{c^{\frac{3}{2}}}{c^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} + \frac{cb^{\frac{1}{2}}}{c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} + \frac{2c^2 - 4cb}{c - b} $$

3. Теперь общий знаменатель для всех трёх дробей – это $c - b$. Приведём первые две дроби к этому знаменателю.

Для первой дроби дополнительный множитель равен $(c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$:

$$ \frac{c^{\frac{3}{2}}(c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})}{(c^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} = \frac{c^{\frac{3}{2}} \cdot c^{\frac{1}{2}} - c^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{c - b} = \frac{c^2 - c^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{c - b} $$

Для второй дроби дополнительный множитель равен $(c^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$:

$$ \frac{cb^{\frac{1}{2}}(c^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{(c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(c^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})} = \frac{c \cdot c^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + c \cdot b^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{c - b} = \frac{c^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} + cb}{c - b} $$

4. Теперь сложим все три дроби, поскольку у них общий знаменатель:

$$ \frac{c^2 - c^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{c - b} + \frac{c^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} + cb}{c - b} + \frac{2c^2 - 4cb}{c - b} $$

Объединим числители:

$$ \frac{(c^2 - c^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}}) + (c^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} + cb) + (2c^2 - 4cb)}{c - b} $$

5. Упростим получившийся числитель, приводя подобные слагаемые:

$$ c^2 - c^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} + cb + 2c^2 - 4cb = (c^2 + 2c^2) + (- c^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}}) + (cb - 4cb) = 3c^2 - 3cb $$

В числителе можно вынести за скобки общий множитель $3c$:

$$ 3c^2 - 3cb = 3c(c - b) $$

6. Подставим упрощённый числитель обратно в дробь и сократим:

$$ \frac{3c(c - b)}{c - b} = 3c $$

Это упрощение возможно при условии, что $c - b \neq 0$, то есть $c \neq b$.

Ответ: $3c$