Номер 69, страница 32 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 69, страница 32.

Условие.

Вычислить (69—71).

69 1) $2^{2-3\sqrt{5}} \cdot 8^{\sqrt{5}};$

2) $3^{1+2\sqrt{2}} : 9^{3\sqrt{2}};$

3) $(5^{1+\sqrt{2}})^{1-\sqrt{2}};$

4) $(5^{1-\sqrt{5}})^{1+\sqrt{5}} - (\sqrt{5})^0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $2^{2-3\sqrt{5}} \cdot 8^{\sqrt{5}}$

Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней. Сначала приведем все степени к одному основанию. Число 8 можно представить как степень числа 2:

$8 = 2^3$

Подставим это в исходное выражение:

$2^{2-3\sqrt{5}} \cdot (2^3)^{\sqrt{5}}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим второй множитель:

$(2^3)^{\sqrt{5}} = 2^{3 \cdot \sqrt{5}} = 2^{3\sqrt{5}}$

Теперь выражение выглядит так:

$2^{2-3\sqrt{5}} \cdot 2^{3\sqrt{5}}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$2^{(2-3\sqrt{5}) + 3\sqrt{5}} = 2^{2-3\sqrt{5}+3\sqrt{5}} = 2^2$

Вычислим результат:

$2^2 = 4$

Ответ: 4

2) $3^{1+2\sqrt[3]{2}} : 9^{\sqrt[3]{2}}$

Приведем степени к общему основанию 3. Заметим, что $9 = 3^2$.

Подставим это в выражение:

$3^{1+2\sqrt[3]{2}} : (3^2)^{\sqrt[3]{2}}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ получаем:

$(3^2)^{\sqrt[3]{2}} = 3^{2 \cdot \sqrt[3]{2}} = 3^{2\sqrt[3]{2}}$

Теперь выражение для деления выглядит так:

$3^{1+2\sqrt[3]{2}} : 3^{2\sqrt[3]{2}}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$):

$3^{(1+2\sqrt[3]{2}) - 2\sqrt[3]{2}} = 3^{1+2\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2}} = 3^1$

Вычислим результат:

$3^1 = 3$

Ответ: 3

3) $(5^{1+\sqrt{2}})^{1-\sqrt{2}}$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. В данном случае показатели степеней перемножаются:

$5^{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}$

Выражение в показателе степени представляет собой формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=1$ и $b=\sqrt{2}$.

$(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1$

Таким образом, исходное выражение равно:

$5^{-1}$

Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$5^{-1} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

4) $(5^{1-\sqrt{5}})^{1+\sqrt{5}} - (\sqrt{5})^0$

Решим это выражение по частям.

Сначала вычислим первую часть: $(5^{1-\sqrt{5}})^{1+\sqrt{5}}$.

Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$5^{(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}$

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=1$ и $b=\sqrt{5}$:

$(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5}) = 1^2 - (\sqrt{5})^2 = 1 - 5 = -4$

Значит, первая часть выражения равна $5^{-4}$.

$5^{-4} = \frac{1}{5^4} = \frac{1}{625}$

Теперь вычислим вторую часть: $(\sqrt{5})^0$.

Любое ненулевое число в степени 0 равно 1, поэтому:

$(\sqrt{5})^0 = 1$

Теперь вычтем вторую часть из первой:

$\frac{1}{625} - 1 = \frac{1}{625} - \frac{625}{625} = \frac{1-625}{625} = -\frac{624}{625}$

Ответ: $-\frac{624}{625}$