Номер 71, страница 32 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 71, страница 32.

Условие.

71 1) $\frac{10^{2+\sqrt{7}}}{2^{2+\sqrt{7}} \cdot 5^{1+\sqrt{7}}}$;

2) $\frac{6^{3+\sqrt{5}}}{2^{2+\sqrt{5}} \cdot 3^{1+\sqrt{5}}}$;

3) $(25^{1+\sqrt{2}} - 5^{2\sqrt{2}}) \cdot 5^{-1-2\sqrt{2}};

4) $(2^{2\sqrt{3}} - 4^{\sqrt{3}-1}) \cdot 2^{-2\sqrt{3}}.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней: $ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n $ и $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $.

Исходное выражение: $ \frac{10^{2+\sqrt{7}}}{2^{2+\sqrt{7}} \cdot 5^{1+\sqrt{7}}} $.

Представим числитель $ 10^{2+\sqrt{7}} $ в виде произведения степеней с основаниями 2 и 5:

$ 10^{2+\sqrt{7}} = (2 \cdot 5)^{2+\sqrt{7}} = 2^{2+\sqrt{7}} \cdot 5^{2+\sqrt{7}} $.

Подставим это выражение обратно в дробь:

$ \frac{2^{2+\sqrt{7}} \cdot 5^{2+\sqrt{7}}}{2^{2+\sqrt{7}} \cdot 5^{1+\sqrt{7}}} $.

Сократим дробь на общий множитель $ 2^{2+\sqrt{7}} $:

$ \frac{5^{2+\sqrt{7}}}{5^{1+\sqrt{7}}} $.

Теперь применим свойство деления степеней с одинаковым основанием:

$ 5^{(2+\sqrt{7}) - (1+\sqrt{7})} = 5^{2+\sqrt{7}-1-\sqrt{7}} = 5^{1} = 5 $.

Ответ: 5

2)

Для решения данного примера воспользуемся теми же свойствами степеней: $ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n $ и $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $.

Исходное выражение: $ \frac{6^{3+\sqrt{5}}}{2^{2+\sqrt{5}} \cdot 3^{1+\sqrt{5}}} $.

Представим числитель $ 6^{3+\sqrt{5}} $ в виде произведения степеней с основаниями 2 и 3:

$ 6^{3+\sqrt{5}} = (2 \cdot 3)^{3+\sqrt{5}} = 2^{3+\sqrt{5}} \cdot 3^{3+\sqrt{5}} $.

Подставим это выражение обратно в дробь:

$ \frac{2^{3+\sqrt{5}} \cdot 3^{3+\sqrt{5}}}{2^{2+\sqrt{5}} \cdot 3^{1+\sqrt{5}}} $.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$ \left(\frac{2^{3+\sqrt{5}}}{2^{2+\sqrt{5}}}\right) \cdot \left(\frac{3^{3+\sqrt{5}}}{3^{1+\sqrt{5}}}\right) $.

Применим свойство деления степеней для каждой группы:

$ 2^{(3+\sqrt{5}) - (2+\sqrt{5})} \cdot 3^{(3+\sqrt{5}) - (1+\sqrt{5})} = 2^{3+\sqrt{5}-2-\sqrt{5}} \cdot 3^{3+\sqrt{5}-1-\sqrt{5}} $.

Упростим показатели степеней и вычислим результат:

$ 2^{1} \cdot 3^{2} = 2 \cdot 9 = 18 $.

Ответ: 18

3)

Для решения этого примера используем свойства степеней: $ (a^m)^n = a^{mn} $, $ a^{m+n} = a^m \cdot a^n $.

Исходное выражение: $ (25^{1+\sqrt{2}} - 5^{2\sqrt{2}}) \cdot 5^{-1-2\sqrt{2}} $.

Преобразуем первое слагаемое в скобках, представив 25 как $ 5^2 $:

$ 25^{1+\sqrt{2}} = (5^2)^{1+\sqrt{2}} = 5^{2 \cdot (1+\sqrt{2})} = 5^{2+2\sqrt{2}} $.

Теперь выражение в скобках выглядит так: $ (5^{2+2\sqrt{2}} - 5^{2\sqrt{2}}) $.

Используя свойство $ a^{m+n} = a^m \cdot a^n $, преобразуем $ 5^{2+2\sqrt{2}} $:

$ 5^{2+2\sqrt{2}} = 5^2 \cdot 5^{2\sqrt{2}} = 25 \cdot 5^{2\sqrt{2}} $.

Подставим это в скобки и вынесем общий множитель $ 5^{2\sqrt{2}} $:

$ (25 \cdot 5^{2\sqrt{2}} - 1 \cdot 5^{2\sqrt{2}}) = (25-1) \cdot 5^{2\sqrt{2}} = 24 \cdot 5^{2\sqrt{2}} $.

Теперь умножим результат на второй множитель из исходного выражения:

$ (24 \cdot 5^{2\sqrt{2}}) \cdot 5^{-1-2\sqrt{2}} = 24 \cdot (5^{2\sqrt{2}} \cdot 5^{-1-2\sqrt{2}}) $.

Сложим показатели степеней у основания 5:

$ 24 \cdot 5^{2\sqrt{2} + (-1-2\sqrt{2})} = 24 \cdot 5^{2\sqrt{2}-1-2\sqrt{2}} = 24 \cdot 5^{-1} $.

Вычислим конечный результат:

$ 24 \cdot \frac{1}{5} = \frac{24}{5} $.

Ответ: $ \frac{24}{5} $

4)

Для решения этого примера используем свойства степеней: $ (a^m)^n = a^{mn} $, $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $, а также распределительный закон умножения.

Исходное выражение: $ (2^{2\sqrt{3}} - 4^{\sqrt{3}-1}) \cdot 2^{-2\sqrt{3}} $.

Преобразуем второе слагаемое в скобках, представив 4 как $ 2^2 $:

$ 4^{\sqrt{3}-1} = (2^2)^{\sqrt{3}-1} = 2^{2(\sqrt{3}-1)} = 2^{2\sqrt{3}-2} $.

Теперь выражение выглядит так: $ (2^{2\sqrt{3}} - 2^{2\sqrt{3}-2}) \cdot 2^{-2\sqrt{3}} $.

Раскроем скобки, умножив каждый член в них на $ 2^{-2\sqrt{3}} $:

$ 2^{2\sqrt{3}} \cdot 2^{-2\sqrt{3}} - 2^{2\sqrt{3}-2} \cdot 2^{-2\sqrt{3}} $.

Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:

$ 2^{2\sqrt{3} + (-2\sqrt{3})} - 2^{(2\sqrt{3}-2) + (-2\sqrt{3})} = 2^{2\sqrt{3}-2\sqrt{3}} - 2^{2\sqrt{3}-2-2\sqrt{3}} $.

Упростим показатели степеней:

$ 2^0 - 2^{-2} $.

Вычислим результат:

$ 1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $.

Ответ: $ \frac{3}{4} $