Номер 78, страница 33 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 78, страница 33.

Условие.

78 1) $\frac{a^{\frac{4}{3}}\left(a^{-\frac{1}{3}}+a^{\frac{2}{3}}\right)}{a^{\frac{1}{4}}\left(a^{\frac{3}{4}}+a^{-\frac{1}{4}}\right)};$

2) $\frac{b^{\frac{1}{5}}\left(\sqrt[5]{b^{4}}-\sqrt[5]{b^{-1}}\right)}{b^{\frac{2}{3}}\left(\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{b^{-2}}\right)};$

3) $\frac{a^{\frac{5}{3}}b^{-1}-a^{-\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{a^{2}}};$

4) $\frac{a^{\frac{1}{3}}\sqrt{b}+b^{\frac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы упростить данное выражение, необходимо раскрыть скобки в числителе и знаменателе, применив свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Сначала преобразуем числитель:
$a^{\frac{4}{3}}(a^{-\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}}) = a^{\frac{4}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{3}} + a^{\frac{4}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} + a^{\frac{4}{3} + \frac{2}{3}} = a^{\frac{3}{3}} + a^{\frac{6}{3}} = a^1 + a^2 = a(1+a)$.

Теперь преобразуем знаменатель:
$a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{3}{4}} + a^{-\frac{1}{4}}) = a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{-\frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{4} - \frac{1}{4}} = a^{\frac{4}{4}} + a^0 = a^1 + 1 = a+1$.

Подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{a(1+a)}{a+1}$.

При условии, что $a \neq -1$, сократим дробь на $(a+1)$:
$\frac{a(1+a)}{a+1} = a$.

Ответ: $a$.

2) Для решения представим корни в виде степеней с дробными показателями: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.

Исходное выражение примет вид:
$\frac{b^{\frac{1}{5}}(b^{\frac{4}{5}} - b^{-\frac{1}{5}})}{b^{\frac{2}{3}}(b^{\frac{1}{3}} - b^{-\frac{2}{3}})}$.

Раскроем скобки в числителе, используя свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$b^{\frac{1}{5}}(b^{\frac{4}{5}} - b^{-\frac{1}{5}}) = b^{\frac{1}{5}+\frac{4}{5}} - b^{\frac{1}{5}-\frac{1}{5}} = b^{\frac{5}{5}} - b^0 = b - 1$.

Аналогично раскроем скобки в знаменателе:
$b^{\frac{2}{3}}(b^{\frac{1}{3}} - b^{-\frac{2}{3}}) = b^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} - b^{\frac{2}{3}-\frac{2}{3}} = b^{\frac{3}{3}} - b^0 = b - 1$.

Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{b-1}{b-1}$.

При условии, что $b \neq 1$, сократим дробь:
$\frac{b-1}{b-1} = 1$.

Ответ: $1$.

3) Преобразуем корень в знаменателе в степень с дробным показателем: $\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}$.

Выражение примет вид:
$\frac{a^{\frac{5}{3}}b^{-1} - a^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}}$.

Разделим почленно числитель на знаменатель, используя свойство $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:
$\frac{a^{\frac{5}{3}}b^{-1}}{a^{\frac{2}{3}}} - \frac{a^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}} = a^{\frac{5}{3} - \frac{2}{3}}b^{-1} - a^{-\frac{1}{3} - \frac{2}{3}} = a^{\frac{3}{3}}b^{-1} - a^{-\frac{3}{3}} = a^1 b^{-1} - a^{-1}$.

Запишем результат без отрицательных степеней:
$\frac{a}{b} - \frac{1}{a}$.

Приведем к общему знаменателю:
$\frac{a \cdot a}{ab} - \frac{1 \cdot b}{ab} = \frac{a^2 - b}{ab}$.

Ответ: $\frac{a^2-b}{ab}$.

4) Перепишем все корни в виде степеней с дробными показателями.

$\sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}}$, $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[6]{a} = a^{\frac{1}{6}}$, $\sqrt[6]{b} = b^{\frac{1}{6}}$.

Выражение принимает вид:
$\frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}}a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель. Для этого найдем наименьшие степени $a$ и $b$. Это $a^{\frac{1}{3}}$ и $b^{\frac{1}{3}}$. Вынесем $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$ за скобки:
$a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}}a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}) = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{1}{6}} + a^{\frac{1}{6}})$.

Подставим полученное выражение в числитель дроби:
$\frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}}$.

Сократим дробь на $(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})$:
$a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} = (ab)^{\frac{1}{3}}$.

Результат можно также записать в виде корня: $\sqrt[3]{ab}$.

Ответ: $\sqrt[3]{ab}$.