Номер 85, страница 34 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 85, страница 34.

Условие.

85 1) $7^{x\sqrt{3}} = \sqrt{7}$;

2) $25^{x\sqrt{2}} = 5\sqrt{5}$;

3) $(\sqrt{2})^x = 2\sqrt{2}$;

4) $(\sqrt{3})^{3x} = 3\sqrt{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $7^{x\sqrt{3}} = \sqrt{7}$
Для решения данного показательного уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 7.
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 7: $\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$.
Теперь уравнение имеет вид: $7^{x\sqrt{3}} = 7^{\frac{1}{2}}$.
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x\sqrt{3} = \frac{1}{2}$
Теперь выразим $x$:
$x = \frac{1}{2\sqrt{3}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:
$x = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$
Ответ: $x = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

2) $25^{x\sqrt{2}} = 5\sqrt{5}$
Приведем обе части уравнения к общему основанию 5.
Преобразуем левую часть: $25^{x\sqrt{2}} = (5^2)^{x\sqrt{2}} = 5^{2x\sqrt{2}}$.
Преобразуем правую часть: $5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{1+\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$.
Теперь уравнение выглядит так: $5^{2x\sqrt{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$.
Приравниваем показатели степеней:
$2x\sqrt{2} = \frac{3}{2}$
Выражаем $x$:
$x = \frac{3}{2 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{3}{4\sqrt{2}}$
Избавляемся от иррациональности в знаменателе:
$x = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{2}}{8}$
Ответ: $x = \frac{3\sqrt{2}}{8}$.

3) $(\sqrt{2})^x = 2\sqrt{2}$
Приведем обе части уравнения к общему основанию $\sqrt{2}$.
Левая часть уже представлена в нужном виде: $(\sqrt{2})^x$.
Преобразуем правую часть: $2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{2}^1 = (\sqrt{2})^{2+1} = (\sqrt{2})^3$.
Уравнение принимает вид: $(\sqrt{2})^x = (\sqrt{2})^3$.
Приравниваем показатели степеней:
$x = 3$
Ответ: $x = 3$.

4) $(\sqrt{3})^{3x} = 3\sqrt{3}$
Приведем обе части уравнения к общему основанию $\sqrt{3}$.
Левая часть уже представлена в виде степени с основанием $\sqrt{3}$: $(\sqrt{3})^{3x}$.
Преобразуем правую часть: $3\sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}^1 = (\sqrt{3})^{2+1} = (\sqrt{3})^3$.
Получаем уравнение: $(\sqrt{3})^{3x} = (\sqrt{3})^3$.
Приравниваем показатели степеней:
$3x = 3$
Находим $x$:
$x = \frac{3}{3} = 1$
Ответ: $x = 1$.