Номер 79, страница 33 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 79, страница 33.

Условие.

79 Вычислить:

1) $(2^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} - 3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}) \sqrt[3]{6};$

2) $(5^{\frac{1}{4}} : 2^{\frac{3}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} : 5^{\frac{3}{4}}) \sqrt[4]{1000}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления значения выражения $\left( 2^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} - 3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} \right) \sqrt[3]{6}$ выполним следующие действия.
Сначала представим корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[3]{6} = 6^{\frac{1}{3}}$.
Теперь раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $6^{\frac{1}{3}}$:
$\left( 2^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} - 3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} \right) \cdot 6^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{3}} - 3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{3}}$.
Представим $6^{\frac{1}{3}}$ как $(2 \cdot 3)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}$ и подставим в выражение:
$2^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} \cdot (2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}) - 3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} \cdot (2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}})$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$(2^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}) \cdot (3^{-\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}) - (3^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}) \cdot (2^{-\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}})$.
Вычислим суммы показателей степеней:
$2^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} - 3^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} = 2^{\frac{6}{3}} \cdot 3^0 - 3^{\frac{6}{3}} \cdot 2^0$.
Упростим показатели и вычислим результат, помня что любое число в степени 0 равно 1:
$2^2 \cdot 1 - 3^2 \cdot 1 = 4 - 9 = -5$.
Ответ: -5.

2) Для вычисления значения выражения $\left( 5^{\frac{1}{4}} : 2^{\frac{3}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} : 5^{\frac{3}{4}} \right) \sqrt[4]{1000}$ выполним следующие действия.
Перепишем выражение, заменив деление на умножение на степень с отрицательным показателем, а корень — на степень с дробным показателем:
$\left( 5^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{-\frac{3}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{-\frac{3}{4}} \right) \cdot 1000^{\frac{1}{4}}$.
Упростим множитель $1000^{\frac{1}{4}}$. Так как $1000 = 10^3$, то $1000^{\frac{1}{4}} = (10^3)^{\frac{1}{4}} = 10^{\frac{3}{4}}$.
Теперь представим $10$ как $2 \cdot 5$, тогда $10^{\frac{3}{4}} = (2 \cdot 5)^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}}$.
Подставим это в исходное выражение и раскроем скобки:
$\left( 5^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{-\frac{3}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{-\frac{3}{4}} \right) \cdot (2^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}}) = 5^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{-\frac{3}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{-\frac{3}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$(5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}}) \cdot (2^{-\frac{3}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{4}}) - (2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{4}}) \cdot (5^{-\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}})$.
Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:
$5^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \cdot 2^{-\frac{3}{4} + \frac{3}{4}} - 2^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \cdot 5^{-\frac{3}{4} + \frac{3}{4}} = 5^{\frac{4}{4}} \cdot 2^0 - 2^{\frac{4}{4}} \cdot 5^0$.
Упростим показатели и вычислим результат:
$5^1 \cdot 1 - 2^1 \cdot 1 = 5 - 2 = 3$.
Ответ: 3.