Номер 84, страница 34 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 84, страница 34.

Условие.

Решить уравнение (84–85).

84 1) $5^{2x} = 5^4$;

2) $(\frac{1}{2})^{2x} = (\frac{1}{2})^{-1}$;

3) $9^x = 3^2\sqrt{2}$;

4) $16^x = 2^{8\pi}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано показательное уравнение $5^{2x} = 5^4$.

Поскольку основания степеней в левой и правой частях уравнения одинаковы и равны 5, мы можем приравнять их показатели:

$2x = 4$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{4}{2}$

$x = 2$

Ответ: $2$.

2) Дано уравнение $\left(\frac{1}{2}\right)^{2x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$.

Основания степеней в обеих частях уравнения равны $\frac{1}{2}$. Следовательно, мы можем приравнять показатели степеней:

$2x = -1$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

3) Дано уравнение $9^x = 3^{2\sqrt{2}}$.

Для решения этого уравнения необходимо привести обе его части к одному и тому же основанию. Заметим, что $9$ можно представить как степень числа $3$, а именно $9 = 3^2$.

Подставим это выражение в левую часть уравнения:

$(3^2)^x = 3^{2\sqrt{2}}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$3^{2x} = 3^{2\sqrt{2}}$

Теперь, когда основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$2x = 2\sqrt{2}$

Разделим обе части на 2:

$x = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$.

4) Дано уравнение $16^x = 2^{8\pi}$.

Приведем обе части уравнения к общему основанию. Число $16$ можно представить как степень числа $2$: $16 = 2^4$.

Заменим $16$ в левой части уравнения:

$(2^4)^x = 2^{8\pi}$

Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем левую часть:

$2^{4x} = 2^{8\pi}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$4x = 8\pi$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 4:

$x = \frac{8\pi}{4}$

$x = 2\pi$

Ответ: $2\pi$.