Номер 83, страница 34 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 83, страница 34.

Условие.

83 1) $(a^{1+\sqrt{2}})^{1-\sqrt{2}}$;

2) $\left( m^{\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}} \right)^{-3} \cdot m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$;

3) $(a^{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}})^{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}$;

4) $(a^{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1})^{1-\sqrt[3]{3}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Упростим выражение $(a^{1+\sqrt{2}})^{1-\sqrt{2}}$.

Воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

В нашем случае показатель степени будет равен произведению $(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})$.

Это формула разности квадратов $(b+c)(b-c) = b^2 - c^2$.

$(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1$.

Следовательно, исходное выражение равно $a^{-1}$.

Ответ: $a^{-1}$ или $\frac{1}{a}$.

2) Упростим выражение $(\large m^{\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}})^{-3} \cdot m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$.

Сначала преобразуем показатель степени в первой части выражения: $\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $1-\sqrt{5}$:

$\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} = \frac{(1-\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})} = \frac{(1-\sqrt{5})^2}{1^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{1 - 2\sqrt{5} + 5}{1 - 5} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{-4} = \frac{2(3 - \sqrt{5})}{-4} = -\frac{3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}-3}{2}$.

Теперь подставим упрощенный показатель в исходное выражение:

$(m^{\frac{\sqrt{5}-3}{2}})^{-3} \cdot m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$

Применим свойство $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$ к первому множителю:

$m^{\frac{\sqrt{5}-3}{2} \cdot (-3)} \cdot m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}} = m^{\frac{-3\sqrt{5}+9}{2}} \cdot m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$

Теперь применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$:

$m^{\frac{9-3\sqrt{5}}{2} + \frac{3\sqrt{5}}{2}} = m^{\frac{9-3\sqrt{5}+3\sqrt{5}}{2}} = m^{\frac{9}{2}}$.

Ответ: $m^{\frac{9}{2}}$.

3) Упростим выражение $(a^{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}})^{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}$.

Воспользуемся свойством $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Показатель степени будет равен произведению:

$(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9})$.

Это выражение соответствует формуле суммы кубов $(b+c)(b^2-bc+c^2) = b^3+c^3$.

Пусть $b = \sqrt[3]{2}$ и $c = \sqrt[3]{3}$. Тогда $b^2 = (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{4}$, $c^2 = (\sqrt[3]{3})^2 = \sqrt[3]{9}$ и $bc = \sqrt[3]{2}\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{6}$.

Таким образом, показатель степени равен $b^3 + c^3 = (\sqrt[3]{2})^3 + (\sqrt[3]{3})^3 = 2 + 3 = 5$.

В результате получаем $a^5$.

Ответ: $a^5$.

4) Упростим выражение $(a^{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1})^{1-\sqrt[3]{3}}$.

Используем свойство $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Показатель степени будет равен произведению:

$(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1)(1-\sqrt[3]{3})$.

Вынесем знак минуса из второго множителя, чтобы привести выражение к стандартному виду формулы разности кубов:

$-(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1)(\sqrt[3]{3}-1)$.

Это соответствует формуле $-(b^2+bc+c^2)(b-c) = -(b^3-c^3)$.

Пусть $b = \sqrt[3]{3}$ и $c = 1$. Тогда $b^2 = (\sqrt[3]{3})^2 = \sqrt[3]{9}$, $c^2 = 1^2 = 1$ и $bc = \sqrt[3]{3} \cdot 1 = \sqrt[3]{3}$.

Значит, показатель степени равен $-(b^3 - c^3) = -((\sqrt[3]{3})^3 - 1^3) = -(3 - 1) = -2$.

В результате получаем $a^{-2}$.

Ответ: $a^{-2}$ или $\frac{1}{a^2}$.