Номер 88, страница 34 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 88, страница 34.

Условие.

88 1) $\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} - \frac{a+b}{a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}}$;

2) $\frac{a+b}{a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}} - \frac{a-b}{a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}$;

3) $\frac{a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}{a-b} - \frac{1}{a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}}$;

4) $\frac{a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}}{a+b} - \frac{1}{a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} - \frac{a+b}{a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}}$ воспользуемся формулами сокращенного умножения для разности и суммы кубов.
Сначала запишем кубические корни в виде степеней с дробным показателем: $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}$.
Выражение примет вид: $\frac{a-b}{a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}} - \frac{a+b}{a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}}$.
Рассмотрим первую дробь. Числитель $a-b$ можно разложить как разность кубов, где основаниями являются $a^{\frac{1}{3}}$ и $b^{\frac{1}{3}}$:
$a-b = (a^{\frac{1}{3}})^3 - (b^{\frac{1}{3}})^3 = (a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.
Сократив дробь, получим:
$\frac{(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}} = a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$.
Рассмотрим вторую дробь. Числитель $a+b$ можно разложить как сумму кубов:
$a+b = (a^{\frac{1}{3}})^3 + (b^{\frac{1}{3}})^3 = (a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.
Сократив вторую дробь, получим:
$\frac{(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}} = a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$.
Теперь выполним вычитание упрощенных выражений:
$(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) - (a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) = a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{2}{3}} = 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} = 2\sqrt[3]{ab}$.
Ответ: $2\sqrt[3]{ab}$

2) Для упрощения выражения $\frac{a+b}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} - \frac{a-b}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}$ также используем формулы суммы и разности кубов.
Знаменатель первой дроби является неполным квадратом разности $a^{\frac{1}{3}}$ и $b^{\frac{1}{3}}$. Числитель $a+b$ можно разложить как сумму кубов:
$a+b = (a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.
Тогда первая дробь упрощается:
$\frac{(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} = a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}$.
Знаменатель второй дроби является неполным квадратом суммы $a^{\frac{1}{3}}$ и $b^{\frac{1}{3}}$. Числитель $a-b$ можно разложить как разность кубов:
$a-b = (a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.
Тогда вторая дробь упрощается:
$\frac{(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} = a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}$.
Выполним вычитание:
$(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}) - (a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}) = a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}} = 2b^{\frac{1}{3}} = 2\sqrt[3]{b}$.
Ответ: $2\sqrt[3]{b}$

3) Рассмотрим выражение $\frac{a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}{a-b} - \frac{1}{a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}}$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатель первой дроби $a-b$ как разность кубов:
$a-b = (a^{\frac{1}{3}})^3 - (b^{\frac{1}{3}})^3 = (a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})$.
Общим знаменателем является выражение $a-b$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на неполный квадрат суммы $(a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})$:
$\frac{a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}{a-b} - \frac{1 \cdot (a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})}{(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})} = \frac{a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}{a-b} - \frac{a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}{a-b}$.
Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}) - (a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})}{a-b} = \frac{a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{2}{3}}}{a-b} = \frac{-a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a-b}$.
Результат можно записать в виде $\frac{-\sqrt[3]{ab}}{a-b}$ или, изменив знак в знаменателе, $\frac{\sqrt[3]{ab}}{b-a}$.
Ответ: $\frac{\sqrt[3]{ab}}{b-a}$

4) Рассмотрим выражение $\frac{a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}}{a+b} - \frac{1}{a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Разложим знаменатель первой дроби $a+b$ как сумму кубов:
$a+b = (a^{\frac{1}{3}})^3 + (b^{\frac{1}{3}})^3 = (a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})$.
Общим знаменателем является выражение $a+b$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})$:
$\frac{a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}}{a+b} - \frac{1 \cdot (a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})}{(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})} = \frac{a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}}{a+b} - \frac{a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}}{a+b}$.
Выполним вычитание дробей:
$\frac{(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}) - (a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})}{a+b} = \frac{a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}}{a+b} = \frac{-2b^{\frac{1}{3}}}{a+b}$.
Результат можно записать в виде $-\frac{2\sqrt[3]{b}}{a+b}$.
Ответ: $-\frac{2\sqrt[3]{b}}{a+b}$