Номер 94, страница 35 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Упражнения к главе 1 - номер 94, страница 35.

Условие.

94 Вычислить:

1) $48^0$, $10^{-2}$, $(\frac{2}{3})^{-1}$, $(0,3)^{-3}$, $(-1,2)^{-2}$, $(2 \frac{1}{4})^{-2}$;

2) $\sqrt[3]{27}$, $\sqrt[4]{81}$, $\sqrt[5]{32}$, $\sqrt[6]{8^2}$, $\sqrt[8]{16^2}$, $\sqrt[3]{27^2}$;

3) $8^{\frac{1}{3}}$, $27^{\frac{2}{3}}$, $10000^{\frac{1}{4}}$, $32^{\frac{2}{5}}$, $32^{-\frac{3}{5}}$, $(\frac{27}{64})^{\frac{2}{3}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для вычисления данных выражений воспользуемся свойствами степеней:

• $48^0 = 1$
  Пояснение: любое ненулевое число, возведенное в степень 0, равно 1.
• $10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$
  Пояснение: степень с отрицательным показателем $a^{-n}$ равна $\frac{1}{a^n}$.
• $(\frac{2}{3})^{-1} = \frac{3}{2} = 1,5$
  Пояснение: дробь, возведенная в степень -1, равна обратной дроби.
• $(0,3)^{-3} = (\frac{3}{10})^{-3} = (\frac{10}{3})^3 = \frac{10^3}{3^3} = \frac{1000}{27}$
  Пояснение: сначала представляем десятичную дробь в виде обыкновенной, а затем используем свойство $(a/b)^{-n} = (b/a)^n$.
• $(-1,2)^{-2} = (-\frac{12}{10})^{-2} = (-\frac{6}{5})^{-2} = (\frac{-5}{6})^2 = \frac{25}{36}$
  Пояснение: отрицательное число, возведенное в четную степень, дает положительный результат.
• $(2\frac{1}{4})^{-2} = (\frac{9}{4})^{-2} = (\frac{4}{9})^2 = \frac{4^2}{9^2} = \frac{16}{81}$
  Пояснение: сначала переводим смешанное число в неправильную дробь.

Ответ: $1$; $0,01$; $1,5$; $\frac{1000}{27}$; $\frac{25}{36}$; $\frac{16}{81}$.

2)

Для вычисления данных выражений воспользуемся определением и свойствами корня n-ой степени:

• $\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$
  Пояснение: ищем число, которое в 3-ей степени дает 27.
• $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$
  Пояснение: ищем число, которое в 4-ой степени дает 81.
• $\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$
  Пояснение: ищем число, которое в 5-ой степени дает 32.
• $\sqrt[6]{8^2} = \sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2$
  Альтернативное решение: используя свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n}$, получаем $8^\frac{2}{6} = 8^\frac{1}{3} = \sqrt[3]{8} = 2$.
• $\sqrt[8]{16^2} = \sqrt[8]{256} = \sqrt[8]{2^8} = 2$
  Альтернативное решение: $16^\frac{2}{8} = 16^\frac{1}{4} = \sqrt[4]{16} = 2$.
• $\sqrt[3]{27^2} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$
  Пояснение: используем свойство $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$. Это упрощает вычисления, так как сначала извлекается корень из меньшего числа.

Ответ: $3$; $3$; $2$; $2$; $2$; $9$.

3)

Для вычисления данных выражений воспользуемся свойством степени с рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$:

• $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$
• $27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$
• $10000^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{10000} = \sqrt[4]{10^4} = 10$
• $32^{\frac{2}{5}} = (\sqrt[5]{32})^2 = 2^2 = 4$
• $32^{-\frac{3}{5}} = \frac{1}{32^{\frac{3}{5}}} = \frac{1}{(\sqrt[5]{32})^3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
  Пояснение: сначала применяем свойство для отрицательной степени, а затем для дробной.
• $(\frac{27}{64})^{\frac{2}{3}} = \frac{27^{\frac{2}{3}}}{64^{\frac{2}{3}}} = \frac{(\sqrt[3]{27})^2}{(\sqrt[3]{64})^2} = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$
  Пояснение: используем свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

Ответ: $2$; $9$; $10$; $4$; $\frac{1}{8}$; $\frac{9}{16}$.