Номер 100, страница 36 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Упражнения к главе 1 - номер 100, страница 36.

Условие.

100 Упростить выражение, представив его в виде степени с основанием $a$:

1) $\frac{a^{\frac{1}{2}} a^{-0.5}}{a^{\frac{2}{3}}}$;

2) $\frac{a^{-3} a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}$;

3) $(a^{2.5})^2 \sqrt[5]{a}$;

4) $\sqrt[7]{a^2} \left(a^{\frac{3}{14}}\right)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $\frac{a^{1\frac{1}{2}} a^{-0,5}}{a^{\frac{2}{3}}}$ воспользуемся свойствами степеней.
Сначала преобразуем показатели степени в числителе. Для этого представим смешанное число и десятичную дробь в виде обыкновенных дробей: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ и $-0,5 = -\frac{1}{2}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$). Упростим числитель:
$a^{\frac{3}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{2} + (-\frac{1}{2})} = a^{\frac{3-1}{2}} = a^{\frac{2}{2}} = a^1 = a$.
Теперь выражение имеет вид $\frac{a}{a^{\frac{2}{3}}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$a^{1 - \frac{2}{3}} = a^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}} = a^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $a^{\frac{1}{3}}$

2) Упростим выражение $\frac{a^{-3} a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}$.
Сначала выполним умножение в числителе, сложив показатели степеней:
$a^{-3} \cdot a^{\frac{7}{3}} = a^{-3 + \frac{7}{3}} = a^{-\frac{9}{3} + \frac{7}{3}} = a^{-\frac{2}{3}}$.
Теперь выполним деление, вычитая показатель степени знаменателя из показателя степени числителя:
$\frac{a^{-\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}} = a^{-\frac{2}{3} - \frac{1}{3}} = a^{-\frac{2+1}{3}} = a^{-\frac{3}{3}} = a^{-1}$.
Ответ: $a^{-1}$

3) Упростим выражение $(a^{2,5})^2 \cdot \sqrt[5]{a}$.
Представим все множители в виде степени с основанием $a$.
Для первого множителя воспользуемся свойством возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):
$(a^{2,5})^2 = a^{2,5 \cdot 2} = a^5$.
Для второго множителя представим корень в виде степени с дробным показателем ($\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$):
$\sqrt[5]{a} = a^{\frac{1}{5}}$.
Теперь перемножим полученные степени, сложив их показатели:
$a^5 \cdot a^{\frac{1}{5}} = a^{5 + \frac{1}{5}} = a^{\frac{25}{5} + \frac{1}{5}} = a^{\frac{26}{5}}$.
Ответ: $a^{\frac{26}{5}}$

4) Упростим выражение $\sqrt[7]{a^2} \left(a^{\frac{3}{14}}\right)^2$.
Представим каждый множитель в виде степени с основанием $a$.
Первый множитель (корень n-ой степени из числа в степени m): $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
$\sqrt[7]{a^2} = a^{\frac{2}{7}}$.
Второй множитель (возведение степени в степень):
$\left(a^{\frac{3}{14}}\right)^2 = a^{\frac{3}{14} \cdot 2} = a^{\frac{6}{14}} = a^{\frac{3}{7}}$.
Теперь перемножим полученные степени, сложив их показатели:
$a^{\frac{2}{7}} \cdot a^{\frac{3}{7}} = a^{\frac{2}{7} + \frac{3}{7}} = a^{\frac{5}{7}}$.
Ответ: $a^{\frac{5}{7}}$