Номер 102, страница 36 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Упражнения к главе 1 - номер 102, страница 36.

Условие.

102 Сравнить числа:

1) $\sqrt[7]{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)^2}$ и $\sqrt[7]{\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)^2};$

2) $\sqrt[5]{\left(1\frac{1}{4}-1\frac{1}{5}\right)^3}$ и $\sqrt[5]{\left(1\frac{1}{6}-1\frac{1}{7}\right)^3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Сравним числа $\sqrt[7]{(\frac{1}{2} - \frac{1}{3})^2}$ и $\sqrt[7]{(\frac{1}{3} - \frac{1}{4})^2}$.

Для того чтобы сравнить эти два числа, сначала упростим выражения, стоящие в скобках под корнем.

Вычислим значение первого выражения в скобках: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 1}{6} - \frac{2 \cdot 1}{6} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$. Таким образом, первое число равно $\sqrt[7]{(\frac{1}{6})^2}$.

Вычислим значение второго выражения в скобках: $\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4 \cdot 1}{12} - \frac{3 \cdot 1}{12} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}$. Таким образом, второе число равно $\sqrt[7]{(\frac{1}{12})^2}$.

Теперь нам нужно сравнить $\sqrt[7]{(\frac{1}{6})^2}$ и $\sqrt[7]{(\frac{1}{12})^2}$.

Функция $f(x) = \sqrt[7]{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что для любых $a > b$, будет справедливо неравенство $\sqrt[7]{a} > \sqrt[7]{b}$. Следовательно, для сравнения корней достаточно сравнить их подкоренные выражения: $(\frac{1}{6})^2$ и $(\frac{1}{12})^2$.

Сравним основания степеней: $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{12}$. Так как знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй ($6 < 12$), то сама дробь больше: $\frac{1}{6} > \frac{1}{12}$.

Так как оба основания положительны, и функция $g(x) = x^2$ для $x > 0$ является возрастающей, то из $\frac{1}{6} > \frac{1}{12}$ следует, что $(\frac{1}{6})^2 > (\frac{1}{12})^2$.

Поскольку подкоренное выражение первого числа больше подкоренного выражения второго, то и значение первого корня больше значения второго.

Ответ: $\sqrt[7]{(\frac{1}{2} - \frac{1}{3})^2} > \sqrt[7]{(\frac{1}{3} - \frac{1}{4})^2}$.

2) Сравним числа $\sqrt[5]{(1\frac{1}{4} - 1\frac{1}{5})^3}$ и $\sqrt[5]{(1\frac{1}{6} - 1\frac{1}{7})^3}$.

Как и в предыдущем пункте, начнем с упрощения выражений в скобках.

Вычислим значение первого выражения в скобках: $1\frac{1}{4} - 1\frac{1}{5} = (1 + \frac{1}{4}) - (1 + \frac{1}{5}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5-4}{20} = \frac{1}{20}$. Первое число равно $\sqrt[5]{(\frac{1}{20})^3}$.

Вычислим значение второго выражения в скобках: $1\frac{1}{6} - 1\frac{1}{7} = (1 + \frac{1}{6}) - (1 + \frac{1}{7}) = \frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{7-6}{42} = \frac{1}{42}$. Второе число равно $\sqrt[5]{(\frac{1}{42})^3}$.

Теперь необходимо сравнить $\sqrt[5]{(\frac{1}{20})^3}$ и $\sqrt[5]{(\frac{1}{42})^3}$.

Функция $f(x) = \sqrt[5]{x}$ является монотонно возрастающей. Значит, нам достаточно сравнить подкоренные выражения: $(\frac{1}{20})^3$ и $(\frac{1}{42})^3$.

Функция $g(x) = x^3$ также является монотонно возрастающей. Поэтому сравнение степеней сводится к сравнению их оснований. Сравним $\frac{1}{20}$ и $\frac{1}{42}$.

Поскольку $20 < 42$, то $\frac{1}{20} > \frac{1}{42}$.

Так как основание первой степени больше основания второй, то $(\frac{1}{20})^3 > (\frac{1}{42})^3$.

А так как подкоренное выражение первого числа больше подкоренного выражения второго, то и сам корень из первого числа будет больше корня из второго.

Ответ: $\sqrt[5]{(1\frac{1}{4} - 1\frac{1}{5})^3} > \sqrt[5]{(1\frac{1}{6} - 1\frac{1}{7})^3}$.