Номер 101, страница 36 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Упражнения к главе 1 - номер 101, страница 36.

Условие.

101 Упростить выражение:

1) $x^{-2\sqrt{2}} \cdot \left(\frac{1}{x^{-\sqrt{2}-1}}\right)^{\sqrt{2}+1};$

2) $\left(\frac{a^{\sqrt{3}}}{b^{\sqrt{3}-1}}\right)^{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{a^{-1-\sqrt{3}}}{b^{-2}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x^{-2\sqrt{2}} \cdot \left(\frac{1}{x^{-\sqrt{2}-1}}\right)^{\sqrt{2}+1}$

Сначала упростим выражение в скобках. Используем свойство степени $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $:

$ \frac{1}{x^{-\sqrt{2}-1}} = (x^{-\sqrt{2}-1})^{-1} $

Теперь применим свойство возведения степени в степень $ (a^m)^n = a^{mn} $:

$ (x^{-\sqrt{2}-1})^{-1} = x^{(-\sqrt{2}-1) \cdot (-1)} = x^{\sqrt{2}+1} $

Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$ x^{-2\sqrt{2}} \cdot (x^{\sqrt{2}+1})^{\sqrt{2}+1} $

Снова используем свойство возведения степени в степень:

$ (x^{\sqrt{2}+1})^{\sqrt{2}+1} = x^{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)} = x^{(\sqrt{2}+1)^2} $

Раскроем квадрат суммы в показателе степени по формуле $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:

$ (\sqrt{2}+1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2} $

Теперь выражение имеет вид:

$ x^{-2\sqrt{2}} \cdot x^{3+2\sqrt{2}} $

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:

$ x^{-2\sqrt{2} + 3+2\sqrt{2}} = x^{3} $

Ответ: $ x^3 $

2) $\left(\frac{a^{\sqrt{3}}}{b^{\sqrt{3}-1}}\right)^{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{a^{-1-\sqrt{3}}}{b^{-2}}$

Сначала возведем дробь в степень, используя свойство $ (\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n} $:

$ \frac{(a^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}+1}}{(b^{\sqrt{3}-1})^{\sqrt{3}+1}} \cdot \frac{a^{-1-\sqrt{3}}}{b^{-2}} $

Упростим числитель и знаменатель первой дроби, используя свойство $ (x^m)^n = x^{mn} $.

Для числителя:

$ (a^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}+1} = a^{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} = a^{3+\sqrt{3}} $

Для знаменателя используем формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $:

$ (b^{\sqrt{3}-1})^{\sqrt{3}+1} = b^{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = b^{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = b^{3-1} = b^2 $

Подставим упрощенные выражения обратно:

$ \frac{a^{3+\sqrt{3}}}{b^2} \cdot \frac{a^{-1-\sqrt{3}}}{b^{-2}} $

Теперь перемножим дроби:

$ \frac{a^{3+\sqrt{3}} \cdot a^{-1-\sqrt{3}}}{b^2 \cdot b^{-2}} $

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $ для числителя и знаменателя.

Упростим числитель:

$ a^{3+\sqrt{3} + (-1-\sqrt{3})} = a^{3+\sqrt{3}-1-\sqrt{3}} = a^2 $

Упростим знаменатель:

$ b^{2 + (-2)} = b^{2-2} = b^0 = 1 $ (при условии, что $ b \neq 0 $).

В результате получаем:

$ \frac{a^2}{1} = a^2 $

Ответ: $ a^2 $