Номер 2, страница 37 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Проверь себя к главе 1 - номер 2, страница 37.

Условие.

2 Упростить выражение:

1) $\sqrt[3]{\frac{ab^2}{c}} \cdot \sqrt[3]{\frac{a^5b}{c^2}}$;

2) $\frac{a^{-3} \cdot a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 8.

1)

Для упрощения выражения $\sqrt[3]{\frac{ab^2}{c}} \cdot \sqrt[3]{\frac{a^5b}{c^2}}$ воспользуемся свойством произведения корней с одинаковым показателем: $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$.

Объединим множители под один знак кубического корня: $\sqrt[3]{\frac{ab^2}{c} \cdot \frac{a^5b}{c^2}}$

Далее, перемножим подкоренные выражения. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$): $\sqrt[3]{\frac{(a \cdot a^5) \cdot (b^2 \cdot b)}{c \cdot c^2}} = \sqrt[3]{\frac{a^{1+5} \cdot b^{2+1}}{c^{1+2}}} = \sqrt[3]{\frac{a^6 b^3}{c^3}}$

Теперь извлечем кубический корень из каждого множителя, используя свойство $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$: $\frac{\sqrt[3]{a^6} \cdot \sqrt[3]{b^3}}{\sqrt[3]{c^3}} = \frac{a^{\frac{6}{3}} \cdot b^{\frac{3}{3}}}{c^{\frac{3}{3}}} = \frac{a^2 \cdot b^1}{c^1} = \frac{a^2b}{c}$

Ответ: $\frac{a^2b}{c}$

2)

Для упрощения выражения $\frac{a^{-3} \cdot a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}$ применим свойства степеней.

Сначала выполним умножение в числителе, сложив показатели степеней ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$): $a^{-3} \cdot a^{\frac{7}{3}} = a^{-3 + \frac{7}{3}}$

Приведем показатели к общему знаменателю и сложим их: $-3 + \frac{7}{3} = -\frac{9}{3} + \frac{7}{3} = \frac{-9+7}{3} = -\frac{2}{3}$

Теперь выражение имеет вид: $\frac{a^{-\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}$

Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием, вычитая из показателя числителя показатель знаменателя ($\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$): $a^{-\frac{2}{3} - \frac{1}{3}} = a^{\frac{-2-1}{3}} = a^{\frac{-3}{3}} = a^{-1}$

Это выражение также можно представить в виде дроби $\frac{1}{a}$.

Ответ: $a^{-1}$