Номер 5, страница 37 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Проверь себя к главе 1 - номер 5, страница 37.

Условие.

5 Упростить выражение $ (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})^2 - (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 8.

5

Данное выражение представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой сокращённого умножения: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

В нашем случае $x = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$ и $y = \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}$.

Подставим эти значения в формулу:
$(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})^2 - (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2 = ((\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) - (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})) \cdot ((\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) + (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}))$.

Теперь упростим выражения в каждой из получившихся скобок, раскрывая внутренние скобки.
Первая скобка: $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) - (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}) = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = 2\sqrt[3]{b}$.
Вторая скобка: $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) + (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}) = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} = 2\sqrt[3]{a}$.

Перемножим результаты упрощения:
$(2\sqrt[3]{b}) \cdot (2\sqrt[3]{a}) = 4\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} = 4\sqrt[3]{ab}$.

Ответ: $4\sqrt[3]{ab}$