Номер 112, страница 38 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Упражнения к главе 1 - номер 112, страница 38.

Условие.

112 Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$;2) $\frac{\sqrt{5}}{5+\sqrt{10}}$;3) $\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$;4) $\frac{2}{\sqrt[4]{27}}$;5) $\frac{3}{\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2}}$;

6) $\frac{11}{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}}$;7) $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$;8) $\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} $, домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{2}+\sqrt{3} $. Применяем формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $.
$ \frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{2-3} = \frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{-1} = -2(\sqrt{2}+\sqrt{3}) $.
Ответ: $ -2(\sqrt{2}+\sqrt{3}) $.

2) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{\sqrt{5}}{5+\sqrt{10}} $, домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ 5-\sqrt{10} $.
$ \frac{\sqrt{5}}{5+\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5}(5-\sqrt{10})}{(5+\sqrt{10})(5-\sqrt{10})} = \frac{5\sqrt{5}-\sqrt{50}}{5^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{5\sqrt{5}-\sqrt{25 \cdot 2}}{25-10} = \frac{5\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{15} = \frac{5(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{15} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3} $.

3) Знаменатель дроби $ \frac{3}{\sqrt[3]{4}} $ равен $ \sqrt[3]{2^2} $. Чтобы избавиться от кубического корня, необходимо получить под корнем число в третьей степени. Для этого домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[3]{2^{3-2}} = \sqrt[3]{2} $.
$ \frac{3}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^3}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{2} $.
Ответ: $ \frac{3\sqrt[3]{2}}{2} $.

4) Знаменатель дроби $ \frac{2}{\sqrt[4]{27}} $ равен $ \sqrt[4]{3^3} $. Чтобы избавиться от корня четвертой степени, необходимо получить под корнем число в четвертой степени. Домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[4]{3^{4-3}}=\sqrt[4]{3} $.
$ \frac{2}{\sqrt[4]{27}} = \frac{2}{\sqrt[4]{3^3}} = \frac{2 \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3^3} \cdot \sqrt[4]{3}} = \frac{2\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{2\sqrt[4]{3}}{3} $.
Ответ: $ \frac{2\sqrt[4]{3}}{3} $.

5) Знаменатель дроби $ \frac{3}{\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2}} $ имеет вид $ a-b $. Чтобы избавиться от корней четвертой степени, применим формулу разности квадратов $ x^2-y^2=(x-y)(x+y) $ дважды. Сначала домножим на $ \sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2} $.
$ \frac{3}{\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2}} = \frac{3(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})}{(\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})} = \frac{3(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})}{(\sqrt[4]{5})^2-(\sqrt[4]{2})^2} = \frac{3(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} $.
В знаменателе осталась иррациональность. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к новому знаменателю выражение $ \sqrt{5}+\sqrt{2} $.
$ \frac{3(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} = \frac{3(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3} = (\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}) $.
Ответ: $ (\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}) $.

6) Знаменатель дроби $ \frac{11}{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}} $ имеет вид $ a+b $. Используем формулу суммы кубов $ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $. Домножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности $ (\sqrt[3]{3})^2 - \sqrt[3]{3}\sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4} $.
$ \frac{11}{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}} = \frac{11(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}{(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})} = \frac{11(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}{(\sqrt[3]{3})^3+(\sqrt[3]{2})^3} = \frac{11(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}{3+2} = \frac{11(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}{5} $.
Ответ: $ \frac{11(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}{5} $.

7) В знаменателе дроби $ \frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} $ сгруппируем слагаемые: $ (1+\sqrt{2})+\sqrt{3} $. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (1+\sqrt{2})-\sqrt{3} $.
$ \frac{1}{(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}} = \frac{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}}{((1+\sqrt{2})+\sqrt{3})((1+\sqrt{2})-\sqrt{3})} = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2} = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1+2\sqrt{2}+2-3} = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} $.
Теперь избавимся от иррациональности $ \sqrt{2} $ в знаменателе, домножив на нее числитель и знаменатель.
$ \frac{(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2-\sqrt{3}\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{4} = \frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} $.
Ответ: $ \frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} $.

8) Знаменатель дроби $ \frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}} $ можно представить в виде $ \sqrt[3]{2^2}+\sqrt[3]{2 \cdot 3}+\sqrt[3]{3^2} $. Это выражение является неполным квадратом суммы выражений $ a=\sqrt[3]{2} $ и $ b=\sqrt[3]{3} $, то есть $ a^2+ab+b^2 $. Чтобы получить рациональный знаменатель, используем формулу разности кубов $ x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) $. Домножим числитель и знаменатель на $ b-a = \sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2} $.
$ \frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}} = \frac{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}{(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})} = \frac{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}{(\sqrt[3]{3})^3-(\sqrt[3]{2})^3} = \frac{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}{3-2} = \sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2} $.
Ответ: $ \sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2} $.