Номер 106, страница 37 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Упражнения к главе 1 - номер 106, страница 37.

Условие.

106 Показать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если:

1) $b_2 = -81$, $S_2 = 162$;

2) $b_2 = 33$, $S_2 = 67$;

3) $b_1 + b_2 = 130$, $b_1 - b_3 = 120$;

4) $b_2 + b_4 = 68$, $b_2 - b_4 = 60$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя $q$ меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Чтобы доказать, что данная прогрессия является бесконечно убывающей, необходимо в каждом случае найти ее знаменатель $q$ и убедиться, что он удовлетворяет этому условию.

1)

По условию даны второй член прогрессии $b_2 = -81$ и сумма первых двух членов $S_2 = b_1 + b_2 = 162$.

Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$:
$b_1 + b_2 = 162$
$b_1 + (-81) = 162$
$b_1 = 162 + 81 = 243$.

Теперь, используя формулу для n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$, найдем знаменатель $q$ из выражения для второго члена $b_2 = b_1 q$:
$-81 = 243 \cdot q$
$q = \frac{-81}{243} = -\frac{1}{3}$.

Проверим условие бесконечного убывания прогрессии:
$|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$.
Так как $\frac{1}{3} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Прогрессия является бесконечно убывающей, так как $|q| < 1$.

2)

По условию $b_2 = 33$ и $S_2 = b_1 + b_2 = 67$.

Найдем первый член $b_1$:
$b_1 + 33 = 67$
$b_1 = 67 - 33 = 34$.

Найдем знаменатель $q$ из формулы $b_2 = b_1 q$:
$33 = 34 \cdot q$
$q = \frac{33}{34}$.

Проверим условие $|q| < 1$:
$|q| = |\frac{33}{34}| = \frac{33}{34}$.
Так как $\frac{33}{34} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Прогрессия является бесконечно убывающей, так как $|q| < 1$.

3)

По условию $b_1 + b_2 = 130$ и $b_1 - b_3 = 120$. Выразим $b_2$ и $b_3$ через $b_1$ и $q$:
$b_2 = b_1 q$
$b_3 = b_1 q^2$.

Подставим эти выражения в исходные уравнения, получим систему:
$\begin{cases} b_1 + b_1 q = 130 \\ b_1 - b_1 q^2 = 120 \end{cases}$

Вынесем $b_1$ за скобки в обоих уравнениях:
$\begin{cases} b_1(1 + q) = 130 \\ b_1(1 - q^2) = 120 \end{cases}$

Используя формулу разности квадратов $1 - q^2 = (1-q)(1+q)$, перепишем второе уравнение:
$b_1(1-q)(1+q) = 120$.

Теперь подставим в него выражение $b_1(1+q)$ из первого уравнения:
$130 \cdot (1-q) = 120$
$1 - q = \frac{120}{130} = \frac{12}{13}$
$q = 1 - \frac{12}{13} = \frac{1}{13}$.

Проверим условие $|q| < 1$:
$|q| = |\frac{1}{13}| = \frac{1}{13}$.
Так как $\frac{1}{13} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Прогрессия является бесконечно убывающей, так как $|q| < 1$.

4)

По условию $b_2 + b_4 = 68$ и $b_2 - b_4 = 60$. Решим эту систему линейных уравнений относительно $b_2$ и $b_4$.

Сложим два уравнения:
$(b_2 + b_4) + (b_2 - b_4) = 68 + 60$
$2b_2 = 128$
$b_2 = 64$.

Подставим найденное значение $b_2$ в первое уравнение, чтобы найти $b_4$:
$64 + b_4 = 68$
$b_4 = 68 - 64 = 4$.

Теперь воспользуемся формулой, связывающей члены прогрессии: $b_4 = b_2 q^{4-2} = b_2 q^2$.
$4 = 64 \cdot q^2$
$q^2 = \frac{4}{64} = \frac{1}{16}$.

Из этого уравнения находим два возможных значения для знаменателя: $q = \frac{1}{4}$ или $q = -\frac{1}{4}$.

Проверим условие $|q| < 1$ для обоих возможных значений $q$:
1. Если $q = \frac{1}{4}$, то $|q| = |\frac{1}{4}| = \frac{1}{4} < 1$.
2. Если $q = -\frac{1}{4}$, то $|q| = |-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4} < 1$.

В обоих возможных случаях модуль знаменателя меньше единицы, следовательно, прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Прогрессия является бесконечно убывающей, так как в обоих возможных случаях $|q| < 1$.