Номер 1, страница 37 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Проверь себя к главе 1 - номер 1, страница 37.

Условие.

1 Вычислить:

1) $ \frac{15^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{5^{-\frac{1}{3}}} $

2) $ \left(\frac{4}{5}\right)^{-2} - \left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{1}{3}} + 4 \cdot 379^0 $

3) $ \left(\sqrt[3]{128} + \sqrt[3]{\frac{1}{4}}\right) : \sqrt[3]{2} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 8.

1) Для решения примера $\frac{15^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{5^{-\frac{1}{3}}}$ воспользуемся свойствами степеней.
Сначала разложим число 15 на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$.
Подставим это в исходное выражение: $\frac{(3 \cdot 5)^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{5^{-\frac{1}{3}}}$.
Применим свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$: $\frac{3^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{5^{-\frac{1}{3}}}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями. В числителе, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим: $3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}} = 3^{\frac{2}{3}+\frac{7}{3}} = 3^{\frac{9}{3}} = 3^3$.
Выражение примет вид: $\frac{3^3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{5^{-\frac{1}{3}}}$.
Теперь разделим степени с основанием 5, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $5^{\frac{2}{3}} : 5^{-\frac{1}{3}} = 5^{\frac{2}{3} - (-\frac{1}{3})} = 5^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} = 5^{\frac{3}{3}} = 5^1 = 5$.
В итоге получаем: $3^3 \cdot 5 = 27 \cdot 5 = 135$.
Ответ: 135.

2) Рассмотрим выражение $(\frac{4}{5})^{-2} - (\frac{1}{27})^{\frac{1}{3}} + 4 \cdot 379^0$ и вычислим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $(\frac{4}{5})^{-2}$. Используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем: $(\frac{5}{4})^2 = \frac{5^2}{4^2} = \frac{25}{16}$.
Второе слагаемое: $(\frac{1}{27})^{\frac{1}{3}}$. Степень $\frac{1}{3}$ эквивалентна кубическому корню: $\sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{1}{3}$.
Третье слагаемое: $4 \cdot 379^0$. Любое ненулевое число в степени 0 равно 1, поэтому $379^0 = 1$. Таким образом, $4 \cdot 1 = 4$.
Теперь соберем все вместе: $\frac{25}{16} - \frac{1}{3} + 4$.
Приведем дроби к общему знаменателю 48:
$\frac{25 \cdot 3}{16 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 16}{3 \cdot 16} + \frac{4 \cdot 48}{48} = \frac{75}{48} - \frac{16}{48} + \frac{192}{48}$.
Выполним вычисления: $\frac{75 - 16 + 192}{48} = \frac{59 + 192}{48} = \frac{251}{48}$.
Ответ: $\frac{251}{48}$.

3) Для вычисления выражения $(\sqrt[3]{128} + \sqrt[3]{\frac{1}{4}}) : \sqrt[3]{2}$ можно воспользоваться свойством дистрибутивности деления: $(a+b):c = a:c + b:c$.
Получаем: $(\sqrt[3]{128} : \sqrt[3]{2}) + (\sqrt[3]{\frac{1}{4}} : \sqrt[3]{2})$.
Применим свойство частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
Вычислим первую часть: $\sqrt[3]{128} : \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{\frac{128}{2}} = \sqrt[3]{64}$. Так как $4^3 = 64$, то $\sqrt[3]{64} = 4$.
Вычислим вторую часть: $\sqrt[3]{\frac{1}{4}} : \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{\frac{1/4}{2}} = \sqrt[3]{\frac{1}{4 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}}$. Так как $2^3 = 8$, то $\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$.
Теперь сложим полученные результаты: $4 + \frac{1}{2} = 4,5$.
Ответ: 4,5.