Номер 3, страница 37 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Проверь себя к главе 1 - номер 3, страница 37.

Условие.

3. Сократить дробь

$\frac{a - 9a^{\frac{1}{2}}}{7a^{\frac{1}{4}} + 21}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 8.

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель. Исходная дробь имеет вид:

$\frac{a - 9a^{\frac{1}{2}}}{7a^{\frac{1}{4}} + 21}$

Область допустимых значений для переменной $a$ определяется условием $a \ge 0$, чтобы корни были определены.

1. Разложим на множители числитель: $a - 9a^{\frac{1}{2}}$.

Сначала вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$:

$a - 9a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} - 9a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 9)$

Выражение в скобках, $a^{\frac{1}{2}} - 9$, представляет собой разность квадратов, так как $a^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2$ и $9 = 3^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$a^{\frac{1}{2}} - 9 = (a^{\frac{1}{4}})^2 - 3^2 = (a^{\frac{1}{4}} - 3)(a^{\frac{1}{4}} + 3)$

Таким образом, числитель полностью разложен на множители:

$a - 9a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} - 3)(a^{\frac{1}{4}} + 3)$

2. Разложим на множители знаменатель: $7a^{\frac{1}{4}} + 21$.

Вынесем за скобки общий множитель 7:

$7a^{\frac{1}{4}} + 21 = 7(a^{\frac{1}{4}} + 3)$

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь и выполним сокращение.

$\frac{a - 9a^{\frac{1}{2}}}{7a^{\frac{1}{4}} + 21} = \frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} - 3)(a^{\frac{1}{4}} + 3)}{7(a^{\frac{1}{4}} + 3)}$

Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{4}} + 3)$ в числителе и знаменателе. Так как $a \ge 0$, то $a^{\frac{1}{4}} \ge 0$, и следовательно $a^{\frac{1}{4}} + 3 > 0$, поэтому деление на этот множитель является корректным.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} - 3)\cancel{(a^{\frac{1}{4}} + 3)}}{7\cancel{(a^{\frac{1}{4}} + 3)}} = \frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} - 3)}{7}$

Ответ: $\frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} - 3)}{7}$