Номер 4, страница 37 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Проверь себя к главе 1 - номер 4, страница 37.

Условие.

4 Сравнить числа $\sqrt[5]{\left(\frac{2}{9}\right)^3}$ и $\sqrt[5]{\left(\frac{1}{4}\right)^3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 8.

Для того чтобы сравнить два числа $\sqrt[5]{(\frac{2}{9})^3}$ и $\sqrt[5]{(\frac{1}{4})^3}$, воспользуемся свойством монотонности степенной функции.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[5]{x}$. Эта функция является возрастающей для всех действительных чисел. Это означает, что если мы сравниваем два числа, то знак неравенства между ними будет таким же, как и знак неравенства между их корнями пятой степени. Таким образом, чтобы сравнить заданные числа, достаточно сравнить выражения, стоящие под знаком корня: $(\frac{2}{9})^3$ и $(\frac{1}{4})^3$.

Далее, рассмотрим функцию $g(x) = x^3$. Эта функция также является возрастающей. Следовательно, чтобы сравнить кубы двух чисел, достаточно сравнить сами эти числа. Таким образом, задача сводится к сравнению оснований степеней: дробей $\frac{2}{9}$ и $\frac{1}{4}$.

Сравним дроби $\frac{2}{9}$ и $\frac{1}{4}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 4 равен $36$.

$\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{8}{36}$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{9}{36}$

Сравнивая числители полученных дробей, имеем $8 < 9$. Отсюда следует, что:

$\frac{8}{36} < \frac{9}{36}$

а значит, $\frac{2}{9} < \frac{1}{4}$.

Поскольку мы установили, что $\frac{2}{9} < \frac{1}{4}$ и функция возведения в куб является возрастающей, то $(\frac{2}{9})^3 < (\frac{1}{4})^3$.

Так как и функция извлечения корня пятой степени также является возрастающей, то из предыдущего неравенства следует, что $\sqrt[5]{(\frac{2}{9})^3} < \sqrt[5]{(\frac{1}{4})^3}$.

Ответ: $\sqrt[5]{(\frac{2}{9})^3} < \sqrt[5]{(\frac{1}{4})^3}$.